2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.
 
 Дифференциальные формы в физике
Сообщение18.03.2017, 14:29 
Аватара пользователя


17/03/17
102
Львов
Здравствуйте. Читая "Гравитацию" МТУ, первый раз столкнулся с дифференциальными формами, пока что только с 1-формой. Иллюстрация в виде конфигурации поверхностей волн де Бройля оказалась для меня совсем непонятной (или я неправильно понял). Понял только, что это геометрический обьект, который работает как "машина": вводим вектор, и на выходе получаем действительное число, и что машина эта линейна. Может надо было читать дальше и понимание пришло бы потом, на примерах. Но я решил посмотреть в других книгах, нашел что-то похожее под тегами "теория гомологий", "внешние дифференциальные формы", "дифференциальное исчисление тензоров"...
И собственно вопрос: что из этого (или не этого) мне нужно применительно к физике, в частности к ОТО? А то боюсь утонуть в этой науке (дифференциальной геометрии). Может она проще чем мне кажется, но иллюстрация в МТУ на примере плоскостей, которые пересекает вектор меня запутала. С другой стороны формальное математичесское определения через какие-то сечения и расслоения мне тоже непонятны. Не знаю, может мне нужны только практические умения, считать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение18.03.2017, 14:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1656
Москва
misha.physics в сообщении #1201501 писал(а):
иллюстрация в МТУ на примере плоскостей, которые пересекает вектор меня запутала

Мне этот подход тоже не понравился, когда я с ним впервые столкнулся. Потом я о нём забыл, о чём ещё ни разу не пожалел.
misha.physics в сообщении #1201501 писал(а):
что из этого (или не этого) мне нужно применительно к физике, в частности к ОТО?

Ну, само понятие дифференциальной формы и того, как их дифференцировать и интегрировать, очень полезно. Могу посоветовать книгу Н.В. Ефимова "Введение в теорию внешних форм", а когда хотя бы две трети этой книги в голове улягутся - книгу С.П. Новикова и И.А. Тайманова "Современные геометрические структуры и поля". В этих двух книгах всё очень понятно написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение18.03.2017, 15:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4430
Мне нравится книга с весьма красноречивым названием: "Геометрические методы математической физики". Автор Б. Шутц. По-моему весьма доходчиво написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение18.03.2017, 15:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
Metford в сообщении #1201506 писал(а):
Мне этот подход тоже не понравился, когда я с ним впервые столкнулся. Потом я о нём забыл, о чём ещё ни разу не пожалел.

Для меня это был и остаётся (почти) единственный способ думать о внешних формах и дифформах.

misha.physics в сообщении #1201501 писал(а):
И собственно вопрос: что из этого (или не этого) мне нужно применительно к физике, в частности к ОТО?

Только то, что написано в МТУ. Этим можете ограничиться. Но там в конце 1 тома достаточно увесистый прогон на все эти темы.

misha.physics в сообщении #1201501 писал(а):
Может она проще чем мне кажется, но иллюстрация в МТУ на примере плоскостей, которые пересекает вектор меня запутала. С другой стороны формальное математичесское определения через какие-то сечения и расслоения мне тоже непонятны. Не знаю, может мне нужны только практические умения, считать?

Сечения и расслоения вам сейчас тоже не нужны.

Вопрос такой. Вы читали ЛЛ-2. Помните там, что такое ковариантный тензор (тензор с только нижними индексами)?

Так вот, если взять чисто ковариантный тензор, и к тому же антисимметризовать его по всем перестановкам индексов, то получится ровно то самое, что называется:
- внешняя форма, если берём тензор в точке, или в отдельном векторном пространстве;
- дифференциальная форма, если берём тензорную функцию на многообразии (в пространстве с аффинной связностью - символами Кристоффеля).

А то, что пишут МТУ, - это некий способ "визуализировать" это дело, придать ему наглядный геометрический образ, чтобы про него было удобней "рассуждать на пальцах".

Можете ограничиться умением считать. Но полезно этот (или другой) образ освоить, и связать его с расчётом, разобрав какие-то простые примеры. Есть на эту тему книжка (подозреваю, Metford она не понравится)
Burke. Div, grad, curl are dead. (web draft II, October 1995)

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение18.03.2017, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1656
Москва
Munin в сообщении #1201517 писал(а):
Есть на эту тему книжка

Не видел. Нужно будет посмотреть. Но даже если мне не понравится - ну и ладно. Я ведь никакой не образец.
Munin в сообщении #1201517 писал(а):
- дифференциальная форма, если берём тензорную функцию на многообразии

На касательном пространстве к многообразию в рассматриваемой точке - для 1-формы. С соответствующим развитием для $k$-форм.
Munin в сообщении #1201517 писал(а):
Но полезно этот (или другой) образ освоить, и связать его с расчётом, разобрав какие-то простые примеры.

Таких примеров в двух упомянутых мной книгах достаточно. Но сравнивать книги не могу по уже указанной причине.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение18.03.2017, 16:09 
Аватара пользователя


17/03/17
102
Львов
Metford, warlock66613, спасибо за рекомендуемые книги.
Первую начал читать, пока только до места о сопряженных пространствах и взаимных базисах. И вот возник вопрос, ковариантными координатами тензора называют величины $T_{i,j,k...}$, єто если в базисе $\boldsymbol{e_i}$? А в $\boldsymbol{e^i}$ тогда как? Просто я нигде не видел чтобы ковариантные компоненты обозначались как $T^{i,j,k...}$, значит всегда имеют ввиду только $\boldsymbol{e_i}$? Но ведь вводят взаимные базисы, и в "Будаке-Фомине" написано что координата вектора $x^i$ может быть ковариантной или контравариантной в зависимости от базиса.
Munin, с тензорами в ЛЛ2 я еще не знакомился. Ковариантный тензор для меня означает пока только что: это обьект координаты которого при переходе от старой системы координат к новой преобразуются с помощью матриц прямого перехода от старого базиса к новому. Но это мне мало о чем говорит, чтобы понять, например, почему внешняя форма это только чисто ковариантный тензор. И еще непонятно различие между "отдельным векторным пространством" и многообразием, а значит и различие между внешней и дифференциальными формами.
Так что буду пока читать МТУ, и может загляну в Шутца, вроде на пальцах обьясняют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение18.03.2017, 16:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1656
Москва
misha.physics в сообщении #1201522 писал(а):
почему внешняя форма это только чисто ковариантный тензор

По определению.
misha.physics в сообщении #1201522 писал(а):
ковариантными координатами тензора называют величины $T_{i,j,k...}$, єто если в базисе $\boldsymbol{e_i}$?

Нет. Понимаете, вектор существует, ничего не зная о том, в какой системе координат мы его хотим рассматривать. Если мы выбрали некоторую систему координат, то в ней у вектора есть вполне определённые координаты. И если мы захотим поменять систему координат, то существует вполне определённая связь старых координат с новыми. Выбрали Вы, допустим, базис $\{e_i\}$. В нём для вектора $x$ (стрелочку не ставлю: для элементов произвольного линейного пространства не принято) $x=x^ie_i$. По немому - т.е. повторяющемуся - индексу проводится суммирование. При этом индексы, по которым суммируют должны находиться один сверху, другой - снизу. Это правило, которое делает запись удобной в использовании. Так вот теперь если Вы захотите перейти к другому базису, то базисные векторы преобразуются с помощью матрицы перехода, а компоненты $x^i$ - с помощью обратной матрицы перехода. Сам вектор $x$ при этом никаких изменений не испытывает, как и должно быть (напоминаю, ему всё равно, из какой системы координат мы на него смотрим). Эти компоненты контравариантные.

С каждым линейным пространством связывают сопряжённое ему, элементы которого - линейные функционалы, действующие на данном линейном пространстве. Для них тоже можно ввести координаты. Но они будут преобразовываться при выборе нового базиса с помощью прямой матрицы перехода, поэтому их принято записывать с нижними индексами - как базисные векторы $e_i$ в примере выше. Соответственно, и запись будет другая: $f=f_ie^i$. Теперь $e^i$ - взаимный базис, его обычно для удобства выбирают так, что $e^i(e_k)=\delta_k^i$. Никакой особой премудрости. Куча соглашений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение18.03.2017, 16:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7196
Hogtown
А кто такой МТУ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение18.03.2017, 17:27 
Заслуженный участник


14/10/14
497
Быстрое введение в дифференциальную геометрию можно найти во 2-й главе книжки Хокинг, Эллис. Крупномасштабная структура пространства-времени. Она, кстати, как раз про ОТО и для физиков. (Но не для начинающих.)

misha.physics в сообщении #1201501 писал(а):
что из этого (или не этого) мне нужно применительно к физике, в частности к ОТО? А то боюсь утонуть в этой науке (дифференциальной геометрии).
Я не знаю. Про тензоры, в том числе векторы и формы, можно думать (хотя бы первое время) как про символы с верхними и нижними индексами, которые при замене координат преобразуются так-то и так-то, и не задумываться про остальное. Изучать ОТО во всяком случае можно так, чтобы дифференциальной геометрии было меньше, чем у МТУ. Много учебников, где её меньше:
Дирак. Общая теория относительности.
Хриплович. Общая теория относительности.
Ландау, Лифшиц. Теория поля.
Вайнберг. Гравитация и космология...


"Дифференциально-геометрические" части у МТУ мне не нравятся, потому что я их не понимал, пока не прочитал про то же в других книжках.

Red_Herring в сообщении #1201533 писал(а):
А кто такой МТУ?
Мизнер, Торн, Уилер. Гравитация. (3-томный учебник по общей теории относительности.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение18.03.2017, 17:43 
Аватара пользователя


17/03/17
102
Львов
Metford, а если ми сначала выберем базис, и обозначим его ${e^i}$ и распишем в этом базисе $x=x_ie^i$, то теперь контравариантными координатами будут $x_i$? Я это имел ввиду. То есть так как вы написали выше, получается, потому что мы сначала выбираем (по соглашению) базис ${e_i}$, и кажем что $x^i$ - контравариантные, а когда переходим в сопряженное пространство (для того пространства в котором мы имеем $x=x^ie_i$) и рассматриваем елементы этого пространства - функционалы... Правильно ли что эти функционалы это обьекти которые ми получаем за каким-то правилом из елементов первого пространства? То есть взяв любой вектор первого пространства $x=x^ie_i$ ми получим новый отвечающий эму обьект, который живет в сопряженном пространстве относительно даного (откуда мы взяли $x=x^ie_i$). И если теперь мы введем базис в этом пространстве и распишем полученный обьект по етому базису то его координаты будут преобразоваться по "обратному "закону, поэтому этот базис мы обозначим ${e^i}$, а координаты $x_i$ чтобы подразумевалось неявное суммирование. То есть в этом пространстве $x=x_ie^i$?

Возникает главный вопрос: правильно ли то, что другой закон преобразования координат обьекта сопряженного пространсва относительно закона в первом пространстве обьясняется тем, за каким правилом мы получили этот обьект из вектора первого пространства. Привильно ли что такие обьекты называют ковекторами?
А за каким правилом нам из елемента даного пространства (вектора) получить обьект соответсвующий эму в сопряженном пространстве? Для чего нам этот обьект? Для чего с каждым линейным пространством связывают сопряжённое ему?

Можно ли сказать что задание функционала это: отображение даного пространства в сопряженное эму? То есть областю определения функционала есть множество елементов даного пространства, а областью значений - елементы сопряженого пространства?

Думаю, я вас уже замучил своими вопросами, мне стоило бы систематически читать об этом в книгах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение18.03.2017, 18:19 
Заслуженный участник


14/10/14
497
Векторы выражаются как линейная комбинация базисных векторов $\mathbf e_i$, а ковекторы (или 1-формы) -- базисных ковекторов $\mathbf e^i$.

Как устанавливается взаимно-однозначное соответствие между векторами и ковекторами, если в векторном пространстве задано скалярное произведение $\langle \mathbf a, \mathbf b \rangle$? Очень просто: рассмотрим линейный функционал $f(\mathbf x) = \langle \mathbf a, \mathbf x \rangle$. Получается, что мы вектору $\mathbf a$ сопоставили линейный функционал на множестве векторов, то есть ковектор; этот линейный функционал сопоставляет каждому вектору $\mathbf x$ число. Это и есть нужное соответствие.

В координатах $\langle \mathbf a, \mathbf b \rangle=g_i_ja^ib^j$, и если координаты вектора $\mathbf a$ в базисе $\mathbf e_i$ суть $a^i$, то координаты соответствующей 1-формы в сопряжённом базисе $\mathbf e^j$ (сопряжённого пространства) суть $a_j=g_i_ja^i$.

misha.physics в сообщении #1201555 писал(а):
Можно ли сказать что задание функционала это: отображение даного пространства в сопряженное эму? То есть областю определения функционала есть множество елементов даного пространства, а областью значений - елементы сопряженого пространства?
Функционалом обычно называют функцию, которая возвращает число, так что ваше соответствие так лучше не называть.

misha.physics в сообщении #1201555 писал(а):
мне стоило бы систематически читать об этом в книгах.
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение18.03.2017, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
misha.physics в сообщении #1201522 писал(а):
И вот возник вопрос, ковариантными координатами тензора называют величины $T_{i,j,k...}$, єто если в базисе $\boldsymbol{e_i}$? А в $\boldsymbol{e^i}$ тогда как?

Этот второй базис - сам "производный" от первого.

misha.physics в сообщении #1201522 писал(а):
Munin, с тензорами в ЛЛ2 я еще не знакомился.

Ох, ну тогда вам рано браться за МТУ!
Порядок такой:
Тейлор-Уилер
Ландау-Лифшиц
Мизнер-Торн-Уилер
и не перепрыгивать!

misha.physics в сообщении #1201522 писал(а):
Так что буду пока читать МТУ, и может загляну в Шутца, вроде на пальцах обьясняют.

Мне не показалось, что в Шутце "на пальцах". В Бёрке - да, на пальцах.

Ещё есть "топорно-инженерная книжка" как раз по быстрому введению в тензоры
Анго. Математика для электро- и радиоинженеров. Глава 5.

Slav-27 в сообщении #1201544 писал(а):
Быстрое введение в дифференциальную геометрию можно найти во 2-й главе книжки Хокинг, Эллис. Крупномасштабная структура пространства-времени.

Имхо, эту книжку надо читать строго после МТУ.

Slav-27 в сообщении #1201544 писал(а):
Изучать ОТО во всяком случае можно так, чтобы дифференциальной геометрии было меньше, чем у МТУ. Много учебников, где её меньше

И по одному этому, сами эти учебники хуже. (Вайнберг - не хуже, потому что там не меньше.)

ОТО - геометрическая теория. Изучать её, пытаясь обойтись без геометрии, - абсурд.

Slav-27 в сообщении #1201544 писал(а):
"Дифференциально-геометрические" части у МТУ мне не нравятся, потому что я их не понимал, пока не прочитал про то же в других книжках.

Есть истории гораздо хуже: когда человек начинает изучать ОТО по ЛЛ-2, и дифференциально-геометрическую суть ОТО вообще не понимает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение18.03.2017, 18:45 
Заслуженный участник


21/08/10
1402
misha.physics в сообщении #1201555 писал(а):
То есть областю определения функционала есть множество елементов даного пространства, а областью значений - елементы сопряженого пространства?



Нет. Область значений --- числа. Сопряженное пространство --- это пространство линейных функционалов.

Если в пространстве есть скалярное произведение, то любой (!) линейный функционал можно представить как скалярное произведение аргумента на фиксированный вектор (т.Рисса).

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение18.03.2017, 19:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7196
Hogtown
Это даже не дифференциальная геометрия, а то, что называется Calculus II. Рассмотрим вначале прямолинейную, но не прямоугольную систему координат. Тогда позиция это вектор состоящий из координат. А вот есть другой вектор -- градиент какой-нибудь функции (ну, к примеру, сила--градиент потенциала). И мы тут же обнаруживаем, что при переходе в другую такую же систему координат эти векторы преобразуются по разному, но при этом связанным образом, потому что дифференциал функции $$d\phi = \phi_{x^j} dx^j$$ скаляр и от системы координат не зависит. Значит эти пространства (позиций и градиентов) взаимно сопряжены (поскольку они конечномерные, то никаких дополнительных заклинаний не надо). Итак, у нас есть два сорта векторов, математики говорят о векторах и ковекторах, а физики когда-то использовали слова ковариантный и контрвариантный. По записи у векторов индекс вверху, а у ковекторов внизу.

Если рассмотрим криволинейные координаты, то позиции уже не будут векторами, но скорости все равно будут. Только это будут вектора в касательном (в данной точке) пространстве. Почему его называют касательным?--Рассмотрим движение по кривой или поверхности. Вектор скорости в каждый момент будет направлен по касательной.

Ну и градиенты останутся векторами. Только лежать они будут в кокасательном пространстве. $$\frac{d\phi }{dt}= \phi_{x^j} \frac{dx^j}{dt}$$ скорость изменения скаляра $\phi$ и значит тоже скаляр.

Скорости и ускорения--векторы, импульсы и силы--ковекторы (тут уже Ньютоново соотношение не действует).

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение18.03.2017, 19:25 


16/07/14
130
какая знакомая тема, я сам мучился с дифформами, лучше всех помогли 2 книги: В.С. Булдырев "линейная алгебра и теория функций многих переменных" (читать её лучше с самого начала и желательно расписывать выражения в координатной форме) и как не странно книга У. Бёрке "пространство геометрия космология" (там собственно много картинок аналогичных МТУ). Еще можно заглянуть в учебник В.И. Арнольда "математические методы классической механики", есть конечно книжка Картрана по формам, но она ужасна на мой взгляд.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 111 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group