2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 8  След.
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение21.03.2017, 04:30 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Metford, спасибо, я очень благодарен вам за вашу готовность мне помочь. Я думаю, что со временем у меня выстроится связанная логическая картина. Сейчас мне кажется, что путаница возникала потому что я отождествлял понятые линейной формы $a$ и ковектора $a(a_1,...a_n)$. Для меня значение линейной формы на конкретном векторе был ковектор (а не число) отвечающий этому вектору. То есть $a(\vec{x})$ для меня означал ковектор $a$, то есть $a(\vec{x})=a$, то есть буква $a$ возле $(\vec{x})$ для меня была ковектором $a=a(a_1...a_n)$ (вот, наверное лучше я бы не сформулировал то что имею ввиду), а получается левая сторона это число (значение линейной формы $a$ на векторе), а правая это ковектор (обьект линейного пространства) отвечающий этому вектору, надеюсь я правильно понял? Хотя и не уверен. Просто их одинаковыми буквами позначают, вот и я построил аналогию с функцией $y=y(x)$. Здесь $y$ и $y(x)$ это одно и тоже, и если у нас векторнозначная функция векторного аргумента, то $y$ и $y(x)$ - векторы. (Наверное здесь я смутно выразился, но как-то так я это понимал. Здесь ведь ещё и от стиля мышления многое зависит :)).
Что касается вышеизложенного, то интуитивно, мне кажется, я понимаю что вы хотели сказать, но сейчас я думаю мне лучше читать книгу и по мере необходимости задавать вопросы :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение21.03.2017, 06:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
misha.physics в сообщении #1202263 писал(а):
И если мы теперь докажем что при переходе в штрихованую систему $a_{i \prime}=S^k_ia_k$, где $S$ - матрица обратная $T$ то мы получим что $x^ia_i=x^{i \prime}a_{i \prime}=inv$.

Окей. Доказывайте!
Вы это должны знать и понимать не только на уровне "мне так кажется" или "я так прочитал", но и на уровне "я сам могу доказать".

-- 21.03.2017 06:31:16 --

misha.physics в сообщении #1202268 писал(а):
Для меня значение линейной формы на конкретном векторе был ковектор (а не число) отвечающий этому вектору.

Нет, термины такие:
- линейная форма $a$ - многомерный объект, и её значение на конкретном векторе $a(x)$ - скаляр, число;
- то же самое называется $a$ - линейный функционал, и $a(x)$ - значение линейного функционала на конкретном векторе;
- то же самое называется $a$ - ковектор, и $a(x)$ - произведение (свёртка) ковектора с вектором.
Другие обозначения: $a=a_i,\quad a(x)=(a,x)=a_i x^i=\sum a_i x^i.$
Лучше не писать $a(a_1,...a_n),$ в крайнем случае пишите $a=(a_1,...a_n).$

-- 21.03.2017 07:00:53 --

misha.physics в сообщении #1202268 писал(а):
Просто их одинаковыми буквами позначают, вот и я построил аналогию с функцией $y=y(x)$. Здесь $y$ и $y(x)$ это одно и тоже

Не всегда. Когда есть конкретный объект $x$ (число), то $y(x)$ - значение функции при этом аргументе (тоже число). Это известное место с путаницей в обозначениях, однако попытки изгнать путаницу приводят к менее интуитивным обозначениям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение21.03.2017, 14:15 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
А тут уже написали, что «линейный функционал» — это прозрачная комбинация двух терминов? Функционал — это функция из чего-то в скаляры. Линейный — ну, понятно, такой, что $f(a + b) = f(a) + f(b)$ для всех подходящих $a, b$. После этого он уже не так страшен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение21.03.2017, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1202379 писал(а):
А тут уже написали, что «линейный функционал» — это прозрачная комбинация двух терминов?

Линейную комбинацию знаю, а прозрачная - это как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение21.03.2017, 16:08 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

:mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение21.03.2017, 17:36 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Значит, весь корень моего непонимания лежал в том как я логичесски строил цепочку упрощения этого определения:
Функция $a(\vec{x})$ называется линейной формой $\Longleftrightarrow$ $a(\vec{x})$ называется линейной формой $\Longleftrightarrow$ $\sum x^ia_i$ называется линейной формой $\Longleftrightarrow$ число называется линейной формой $\Longleftrightarrow$ число называется ковектором... и тут стоп. Но ковектор это же многомерный обьект :)
И сразу не очевидно что имеется ввиду, что $a(\vec{x})==(a, \vec {x})$, где под последним подразумевается обычное алгебраичесское умножение, и потом используется что $(f^i\vec {e}_j)=\delta ^i_j$. Для меня наличие скобок возле $a$ никак не изменяло природы обозначения $a$. И если мы буквой $a$ обозначили ковектор а его значение на векторе той же буквой но со скобками то для меня то $a$ что без скобок это тоже $a$ со скобками $a(\vec{x})$. Получается что то типа: линейная форма это значение этой линейной формы. А все потому, что мы хотим одной буквой обозначить и сам обьект и его действие на вектор. Вот если бы ми обозначили ковектор через $\tilde{a}$ (мы же пишем стрелочку над вектором чтобы понимать что это не число, а геометричесский обьект), то я бы дал такое определение (не строгое наверное, но не так запутывающее):
Линейной формой (ковектором) называют обьект линейного пространства $\tilde{a}$. Он действует на векторы линейного пространства и выдает число $a(\vec{x})==(\tilde{a}, \vec{x})$ где $\tilde{a}=(a_1,...,a_n)$.
Но тогда вообще нет небходимости писать $a(\vec x)$. Но если хочется то теперь $a(\vec x)$ означал бы значение линейной формы на векторе (число), а $\tilde {a}(\vec {x})$ - ковектор, который ми спариваем с $\vec {x}$, то есть $\tilde {a}(\vec {x})==\tilde {a}$. А в предыдущих обозначениях так не получиться: $a(\vec {x})\ne a$.
Ну думаю, теперь я это на всю жизнь запомню, хотя это и кажется тривиальностью :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение21.03.2017, 17:41 


27/08/16
9426

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1202388 писал(а):
Линейную комбинацию знаю, а прозрачная - это как?
Это такое женское бельё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение21.03.2017, 18:23 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.

(Оффтоп)

Линейная комбинация, это такой мат. И к тому же прозрачный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение21.03.2017, 20:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
misha.physics
Рад, что вы, кажется, разбираетесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение21.03.2017, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
misha.physics
Теперь делайте следующий шаг: переварите закон преобразования ковекторов и просто векторов - а затем переходите к формам более высоких степеней. Там уже и до внешних форм недалеко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение22.03.2017, 00:26 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Metford, я только что это сделал, и моей радости нет предела :-) Именно сделав эти преобразования координат я понял сущность векторов и ковекторов, и то что понятие это относительно, и зависит от того какой базис мы преобразовываем. Вот как я это понял:
Рассмотрим лин. пространство $V$, введем в нём базис $\vec {e}_i$, теперь любой елемент этого пространства $\vec {x}=x^i\vec {e}_i$.
Рассмотрим лин. пространство $V^*$, введем в нём базис $f^k$, теперь любой елемент этого пространства $a=a_kf^k$.
Введем теперь такое соотношение между этими базисами: $(f^k,\vec {e}_i)=\delta ^k_i$.
Отсюда: $x^i=(\vec {x}, f^i)$ и $a_k=(a, \vec {e}_k)$.

Рассмотрим в лин. пространстве $V$ переход от старого базиса к новому: $\vec {e}_i\to \vec {e}_{j \prime}$. При этом получим: $\vec {e}_{i \prime}=S^k_i\vec {e}_k$. Матрицу $S\equiv (S^k_i)$ назовем прямой матрицей перехода от старого базиса к новому. Формально можно записать: $\vec {e}^{\prime}=S \vec {e}$. Обратно: $\vec {e}=T\vec {e}^{\prime}$. Очевидно, $ST=E$. После нехитрых вычислений я получаю закон преобразования координат, в символичесском матричном виде: $\vec {x}^{\prime}=T \vec {x}$ и $\vec {x}=S\vec {x}^{\prime}$.

Теперь, как преобразовываються компоненты обьекта $a$. Выхожу из этого: поскольку $a_k=(a, \vec {e}_k)$, то по аналогии доставляю штрихи $a_{k\prime}=(a, \vec {e}_{k\prime})$. И потом получаю: $a^{\prime}=aS$ и $a=a^{\prime}T$. Теперь наконец понял почему, если мы говорим что векторы ето столбики, то ковекторы должны быть строками, это вытекает из того что у их компонентов индексы на разных уровнях :)

Теперь самое интересное, проверяю:
$(\vec {x}, \vec {x})=(S\vec {x}^{\prime}, S\vec {x}^{\prime})\ne (\vec {x}^{\prime}, \vec {x}^{\prime})\ne inv$
$(a, a)\ne (a^{\prime}, a^{\prime})\ne inv$
а вот,
$(\vec {x}, a)=(a, \vec{x})=(\vec {x}^{\prime}, a^{\prime})=inv$,
и главная причина этого как я понимаю сидит здесь: $(f^k,\vec {e}_i)=\delta ^k_i$.

И потом возникает такая мысль: $a$ называют ковектором в том смысле, что при $\vec {e}_i\to \vec {e}_{j \prime}$, он преобразуется противоположно тому как это делает $\vec {x}$. А если би мы рассматривали $f^k\to f^{n\prime}$, то обьект $a$ преобразовывался бы "так как надо", для него теперь "вектор икс" был бы уже ковектором. То есть обьект может быть вектором или ковектором в зависимости от того чей базис мы меняем. Ковектором будет тот обьект чей базис мы не трогали.

Если обьект $\vec {x}$ и $a$ один и тот же, то можно сказать что действие $a(\vec {x})$ равно действию $\vec {x}(a)$ (или теперь стрелочку надо уже рисовать над $a$ а не над иксом :)) и равно длине этого обьекта, длины $a$ и $\vec {x}$ одинаковы.

И возникают эти два типа обьектом, потому что нам хочется рассматривать косоугольные с.к., но мы хотим чтобы что то сохранялось при замене базиса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение22.03.2017, 00:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
misha.physics в сообщении #1202545 писал(а):
Теперь самое интересное, проверяю:
$(\vec {x}, \vec {x})=(S\vec {x}^{\prime}, S\vec {x}^{\prime})\ne (\vec {x}^{\prime}, \vec {x}^{\prime})\ne inv$
$(a, a)\ne (a^{\prime}, a^{\prime})\ne inv$

Вот тут неточно: такие скобки, какие Вы используете, применяются для скалярного произведения. У Вас, как Вы сами говорите, эти две комбинации скалярами не являются. В обеих комбинациях два свободных индекса, поэтому они не являются скалярами. Но вывод Ваш принципиально верен.
misha.physics в сообщении #1202545 писал(а):
Если обьект $\vec {x}$ и $a$ один и тот же, то можно сказать что действие $a(\vec {x})$ равно действию $\vec {x}(a)$ (или теперь стрелочку надо уже рисовать над $a$ а не над иксом :))

А это Вы даже несколько больше сделали, чем хотели. Вы уже со связью линейного пространства и сопряжённого ему разобрались. Теперь только примите во внимание, что это всё так легко и хорошо для пространств конечной размерности - и пока этого будет более чем достаточно. А стрелочки можно вообще не рисовать, когда хорошо понимаете, что пишете :-) В линейной алгебре этого уже и не делают обычно. Положение индекса вполне красноречиво.

В общем, Вас можно поздравить с существенным продвижением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение22.03.2017, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
misha.physics в сообщении #1202545 писал(а):
$\vec {e}^{\prime}=S \vec {e}$
$\vec {x}=S\vec {x}^{\prime}$

Вот здесь где-то напутано. Поскольку и $\vec{e}_i,$ и $\vec{x}$ - вектора из одного пространства, то и преобразовываться они должны по одному и тому же закону.

Это вы слишком вольно обошлись с обозначениями, а по сути, вроде, всё правильно.

-- 22.03.2017 00:51:22 --

misha.physics в сообщении #1202545 писал(а):
То есть обьект может быть вектором или ковектором в зависимости от того чей базис мы меняем. Ковектором будет тот обьект чей базис мы не трогали.

Не совсем так. Объект - это ковектор, пока мы смотрим на пространство $V.$ Но по отношению к пространству $V^*$ - это вектор.

Для конечномерных пространств существует канонический изоморфизм $V^{**}\cong V.$ Для бесконечномерных, я слышал, в общем случае это неверно. Из-за чего я бесконечномерный случай и не понимаю :-(

Но в силу этого изоморфизма, если мы сосредоточимся на $V^*,$ то наоборот, его элементы будут "векторами", а элементы $V$ - "ковекторами".

Но в физике так не делают, там всегда понятно, которое из пространств "настоящее".

misha.physics в сообщении #1202545 писал(а):
Если обьект $\vec {x}$ и $a$ один и тот же, то можно сказать что действие $a(\vec {x})$ равно действию $\vec {x}(a)$

Ага, есть такой взгляд :-)
$f(x)$ есть значение $x$ на $f.$

-- 22.03.2017 00:52:34 --

А теперь самое забавное, но может быть, сложное.
Надо понять операцию внешнего произведения типа $\omega=a\wedge b.$ Тогда вы будете знать не только ковекторы, но и все внешние формы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение22.03.2017, 00:55 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Metford, спасибо. И вот ещё, какое следствие (раз я так разогнался :-) ): если мы хотим посчитать скалярное произведение двух векторов $\vec {x}$ и $\vec {y}$, которые живут в пространстве $V$, в косоугольной системе координат, то мы должны для любого одного из из этих векторов взять соотвествующий ему ковектор в сопряженном пространстве, и потом просто скалярно умножить его на тот другой, который ми не трогали. Теперь уже очевидно, но приятно. Вчера я о таком даже не подозревал.

-- 22 мар 2017, 00:06 --

Munin, да, я невольно использовал символичесское обозначение для базисных векторов: $\vec {x}=(x^1,...,x^n)$, a $\vec {e}=(\vec {e_1},...,\vec {e_n})$.

Может так: обьект $a$ если смотреть на него из $V$ это ковектор если мы не смотрим на него из $V^*$, я так понял ваше уточнение. Это еквивалентно?

Значит в $V$ обьект $\vec {x}$ это вектор, в $V^*$ обьект $a$ это вектор, а вот когда мы из $V^*$ "тащим" обьект $a$ в $V$, то в $V$ обьект $a$ уже ковектор. Очень занятно :)

(Оффтоп)

Кстати, может показаться, зачем я все так детально расписываю? Думаю, я так учусь выражать свои мысли, да и может кому-то пригодится, кто столкнеться с таким же непониманием. А ещё это возможность практиковать русский язык (или, правильне, учить на практике), ведь когда читаеш это одно, а когда пишешь - совсем другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение22.03.2017, 01:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Munin в сообщении #1202552 писал(а):
Для бесконечномерных, я слышал, в общем случае это неверно.

Именно так. Но к линейной алгебре это не относится ("к науке, которую я в данный момент представляю, это не имеет никакого отношения" (с) - классика :-) ). Этим уже функциональный анализ занимается.

Перед внешним произведением я бы всё-таки сначала немножко линейными формами высших степеней позанимался. Ну, для большей плавности, что ли.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 113 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 8  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group