Вопрос по правилу Лопиталя

[Ёж]

Обычно правило Лопиталя применяется при вычислении предела отношений функций $\lim\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ (где $a$ - число или $\infty$), когда имеется неопределенность вида $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$.
В некоторых книгах видел, что правило Лопиталя применяют и при вычислении предела последовательности $\lim\limits_{n\to \infty} x_n= \lim\limits_{n\to \infty}\frac{f(n)}{g(n)}$, когда имеется неопределенность такого же вида: $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$.
Можно ли в таких случаях, т.е. при вычислении предела последовательности, применять правило Лопиталя?

[Xaositect]

Если существует предел функции $\lim\limits_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)}$, то существует и предел последовательности $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{f(n)}{g(n)}$, и они равны.

[Ёж]

Xaositect
Спасибо!

[Munin]

Надо только аккуратно следить, чтобы для каждой последовательности $f(n),\quad n\in\mathbb{N},$ нашлась аналогичная функция $f(x),\quad x\in\mathbb{R}_{>x_0}.$ Если последовательность записана формулой, то это обычно очевидно. Но вас могут и подловить.

[Ёж]

Munin в сообщении #1202101 писал(а):

Надо только аккуратно следить, чтобы для каждой последовательности $f(n),\quad n\in\mathbb{N},$ нашлась аналогичная функция $f(x),\quad x\in\mathbb{R}_{>x_0}.$ Если последовательность записана формулой, то это обычно очевидно. Но вас могут и подловить.

Например?

[Munin]

Например, дать последовательность, описанную словесно, или такой формулой, которая не обобщается прозрачным образом на действительные числа. (Что вы будете делать с факториалом?)

Или, предложат вам такую пару "последовательность и функция", что функция совпадает с последовательностью в целочисленных точках, но служит плохой заменой в пределах. (Функция $\sin(2\pi x)+1$ совпадает в целочисленных точках с последовательностью $f(n)=1,$ но в отличие от неё, не имеет предела в $+\infty$ вообще. Ещё можно придумать функцию, имеющую предел, но чья производная не имеет предела.)

[crazy_taxi_driver]

В случае $\infty/\infty$ есть явная формулировка - теорема Штольца ("https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Штольца")