2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Пролетело..
Сообщение22.03.2017, 18:04 
Заслуженный участник


28/12/12
4547
dovlato в сообщении #1202659 писал(а):
Так вот я думаю, что вполне достаточно быть ему телом вращения - любой формы. И при данной массе и прицельном расстоянии эффект будет ровно таким же.

Так я ж привел пример, когда это не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пролетело..
Сообщение22.03.2017, 19:30 


05/02/11
1015
Москва
Разве? Думаю, нет.
Повторяю условия: тело вращения заданной массы, движущееся с большой скоростью вдоль своей оси симметрии,
пролетает мимо песчинки настолько быстро, что во время прохождения тела мимо неё она ещё почти не успевает сдвинуться.
Такой гравитационный щелчок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пролетело..
Сообщение23.03.2017, 00:29 


05/02/11
1015
Москва
Приведу своё решение.
Рассмотрим сначала точечное тело, массой $M$, летящее по прямой с постоянной скоростью $v_0$ мимо песчинки. Прицельное расстояние $r$.
Пусть произвольный малый элемент $dx$ траектории этого тела находится на расстоянии $R$ от песчинки.
Тело будет находиться в этом элементе в течение времени $dt=dx/v_0$.
За это время песчинка приобретёт приращение составляющей скорости, перпендикулярной траектории тела$$dv=GM\frac r{R^3}\frac{dx}{v_0}$$
Параллельно с этим будем рассматривать другую модель, где однородная тяжёлая нить с линейной плотностью $\mu$ находится на таком же расстоянии $r$ от песчинки. Аналогичный элемент нити обеспечивает приращение ускорение песчинки$$da=G\frac r{R^3}\mu dx$$ Отношение этих двух приращений $$\frac{dv}{da}=\frac M{\mu v_0},$$откуда$$\frac va=\frac M{\mu v_0}$$ Заметим, что векторы $\mathbf v, \mathbf a$ в каждой точке, где может находиться песчинка, ориентированы одинаково. Отсюда вытекает, что потоки скоростей $\mathbf v$ и ускорений $\mathbf a$ через каждый погонный метр воображаемой боковой цилиндрической поверхности - будут находиться ровно в таком же отношении. То есть $$\frac{\Phi_v}{\Phi_a}=\frac M{\mu v_0}$$ Но из теоремы Гаусса нетрудно получить, что$$\Phi_a=4\pi G\mu$$ Отсюда $$\Phi_v=4\pi G\frac M{v_0}$$
И, следовательно, для точечного тела получаем, что песчинка приобретёт скорость, перпендикулярную траектории тела, равную$$v=\frac{\Phi_v}{2\pi r}=2G\frac M{rv_0}$$ Теперь заметим, что если будут пролетать не одно, а произвольное количество тел с параллельными траекториями и, допустим, с одинаковыми величинами скоростей, то в формуле для потока $\Phi_v$ достаточно просто заменить массу $M$ на сумму масс этих тел. В очень частном случае, когда эти массы образуют некое тело вращения, то из симметрии задачи следует, что величина скорости $\mathbf v$ будет зависеть от прицельного расстояния $r$, но не от азимутального угла. А следовательно, полученная выше формула для $v$ останется в силе. На самом деле эта симметрия будет сохранена и в гораздо более общем случае, если, например, проекция всех пролетающих с одинаковыми скоростями масс на поперечное сечение воображаемой поверхности будет обладать круговой симметрией.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 48 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group