2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
 
 Существует ли решение?
Сообщение17.03.2017, 19:09 


03/03/12
961
При рассмотрении задачи из "Олимпиадного раздела" у меня возникла другая идея. Прошу проверить, есть ли ошибки в решении.
Задача: при натуральных $(a,b,c)>1$, не имеющих общего делителя, для системы уравнений
$\frac{c^2}{a+b}=\alpha_1$, $\frac{b^2}{a+c}=\alpha_2$, $\frac{a^2}{b+c}=\alpha_3$
существуют ли натуральные решения $(a,b,c)$, при которых $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ натуральны.

Допустим, что решение существует. Тогда можно взять произвольное решение, обозначив его $(a,b,c)$. Достаточно считать, что (c) чётно, (a,b) не чётны одновременно.
Сделаем обозначение $a+b+c=x$
$c^2+\alpha_1c-\alpha_1x=0$
$x=mn$, $m>n$
$c=n(m-n)$, (n) может быть только чётным (иначе будет противоречие).
$x-c=n^2$
$\alpha_1=(m-n)^2$
$(a+b)+(a+c)+(b+c)=2(a+b+c)=2x=2mn=n^2+n_1^2+n_2^2$
Левая часть делится на четыре, а правая не делится (сумма нечётных квадратов не делится на четыре). Противоречие. Значит натуральных решений не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли решение?
Сообщение17.03.2017, 19:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1169
Москва
TR63 в сообщении #1201223 писал(а):
$c=n(m-n)$, (n) может быть только чётным (иначе будет противоречие).
Почему? Из $a$ и $b$ одно четное, другое нечетное, $x$ нечетное, $m$ и $n$ оба нечетные, $m - n$ четное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли решение?
Сообщение17.03.2017, 19:54 


03/03/12
961
mihaild в сообщении #1201230 писал(а):
Из $a$ и $b$ одно четное


Получаем $(a+c)$ чётное, $b^2$ нечётное. Нечётное не делится на чётное. Поэтому
TR63 в сообщении #1201223 писал(а):
(a,b) не чётны одновременно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли решение?
Сообщение17.03.2017, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1169
Москва
Да, я прочитал "$(a,b)$ не чётны одновременно" как "хотя бы одно из них нечетное.

Тогда непонятно, почему существуют $n$ и $m$, через которые выражаются $x$ и $c$ нужным образом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли решение?
Сообщение17.03.2017, 20:43 


26/08/11
1606
TR63 в сообщении #1201223 писал(а):
$x=mn$, $m>n$
$c=n(m-n)$.
Не понимаю.
Давайте на примере $a=5,b=15,c=10$ "разжевите" ваше доказательство. (Нигде в вашем доказательстве условие взаимной простоты не используется).

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли решение?
Сообщение17.03.2017, 20:46 


03/03/12
961
mihaild в сообщении #1201269 писал(а):
непонятно, почему существуют $n$ и $m$, через которые выражаются $x$ и $c$ нужным образом.

Решаем квадратное уравнение
TR63 в сообщении #1201223 писал(а):
Сделаем обозначение $a+b+c=x$
$c^2+\alpha_1c-\alpha_1x=0$

и получаем нужные значения.
Если Вы считаете, что ошибка в решении квадратного уравнения, то я распишу подробнее, хотя непосредственная проверка подстановкой показывает, что решение найдено верно.

-- 17.03.2017, 21:54 --

Shadow в сообщении #1201277 писал(а):
Нигде в вашем доказательстве условие взаимной простоты не используется).

Это условие используется при исключении из рассмотрения случая, когда все (a,b,c) чётны, т.к. тогда противоречия не получается (сумма чётных квадратов на четыре делится).

-- 17.03.2017, 22:06 --

Shadow в сообщении #1201277 писал(а):
Давайте на примере $a=5,b=15,c=10$

Здесь имеется общий делитель. Я считаю, что к предложенному примеру метод не относится. Если у Вас другое мнение, то прошу его обосновать или указать на ошибку при её наличии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли решение?
Сообщение17.03.2017, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1169
Москва
TR63 в сообщении #1201278 писал(а):
Решаем квадратное уравнение
Получаем $c = \frac{-\alpha_1 \pm \sqrt{\alpha_1 + 4\alpha_1 x}}{2}$. Что дальше?

На примере Shadow (там как у вас - $c$ четно, $a$ и $b$ - нет) как раз получаем $c = 10, x = 5$ - и чему равны $m$ и $n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли решение?
Сообщение17.03.2017, 21:28 


03/03/12
961
mihaild, проверьте подкоренное выражение (там опечатка). Оно должно быть точным квадратом. Опять решаете квадратное уравнение. И получите нужные значения.
В примере Shadow имеется общий делитель. Этот класс не рассматривается. Этот момент можно будет рассмотреть подробнее, когда выясним, что других ошибок нет. (Меня он тоже смущает, хотя особых причин к тому пока не вижу.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли решение?
Сообщение17.03.2017, 21:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1169
Москва
Да, там должно быть $\alpha_1^2 + 4\alpha_1 x$ под корнем. Ок, это точный квадрат (в примере Shadow - $625$), и что?

Давайте вы всё-таки напишете, как вы получаете $m$ и $n$, тем более что в общем случае их вообще не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли решение?
Сообщение17.03.2017, 22:03 


03/03/12
961
$\alpha_1^2 + 4\alpha_1 x-\beta^2=0$

$4x^2+\beta^2=r^2$

$2x=2mn$

$\beta=m^2-n^2$

$r=m^2+n^2$
TR63 в сообщении #1201223 писал(а):
Сделаем обозначение $a+b+c=x$
$c^2+\alpha_1c-\alpha_1x=0$
$x=mn$, $m>n$
$c=n(m-n)$, (n) может быть только чётным (иначе будет противоречие).
$x-c=n^2$
$\alpha_1=(m-n)^2$
$(a+b)+(a+c)+(b+c)=2(a+b+c)=2x=2mn=n^2+n_1^2+n_2^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли решение?
Сообщение17.03.2017, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1169
Москва
И причем тут НОД? Взаимной простотой вы нигде не пользовались.
TR63 в сообщении #1201320 писал(а):
$4x^2+\beta^2=r^2$
$2x=2mn$
$\beta^2=m^2-n^2$
$r^2=m^2+n^2$
$m$ и $n$ всё еще вводятся без пояснений. Ладно, мы не гордые, выразим: $n = \sqrt{\frac{r^2 - \beta^2}{2}}, m = \sqrt{\frac{\beta^2 + r^2}{2}}$. Т.к. $r^2 - \beta^2$ - точный квадрат, не равный нулю, то шансов оказаться целым у $n$ нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли решение?
Сообщение17.03.2017, 22:38 


03/03/12
961
mihaild в сообщении #1201325 писал(а):
И причем тут НОД?

Где у меня написано про НОД?
TR63 в сообщении #1201223 писал(а):
при натуральных $(a,b,c)>1$, не имеющих общего делителя

mihaild в сообщении #1201325 писал(а):
нигде не пользовались.

Пользовалась.
TR63 в сообщении #1201278 писал(а):
Это условие используется при исключении из рассмотрения случая, когда все (a,b,c) чётны, т.к. тогда противоречия не получается (сумма чётных квадратов на четыре делится).

mihaild в сообщении #1201325 писал(а):
$m$ и $n$ всё еще вводятся без пояснений

Вроде, это известный факт ( теорема Ферма при показателе, равном двум).

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли решение?
Сообщение17.03.2017, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1169
Москва
TR63 в сообщении #1201330 писал(а):
Где у меня написано про НОД?
Было написано до изменения сообщения.

Ну так в приведенном примере неверно, что "все $(a, b, c)$ четны" (существование общего делителя и его равенство $2$ - разные свойства).

Только не Ферма, а формула примитивных пифагоровых троек, т.е. надо, чтобы $(x, \beta, r)$ были взаимно просты. Что надо доказывать (и что точно можеть быть неправдой если исходные $a, b, c$ не взаимно просты).

UPD: до исправления у вас была опечатка ($\beta^2$ и $r^2$ в выражении их через $m$ и $n$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли решение?
Сообщение17.03.2017, 23:14 


03/03/12
961
mihaild в сообщении #1201334 писал(а):
в приведенном примере неверно, что "все $(a, b, c)$ четны

Но верно, что имеют общий делитель. А, класс с общим делителем не рассматривается. Почему нельзя не рассматривать такой класс. Ведь при доказательстве я использую не свойство все "числа чётны", а свойство "отсутствие общего множителя".

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли решение?
Сообщение17.03.2017, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1169
Москва
TR63, довольно странно использовать что-то в доказательстве, не требуя это и не упоминая, где используется:)
Где нужно, чтобы все три не были четными - понятно.
Видно, что нужно, чтобы $x, \beta, r$ были взаимно простыми. Непонятно пока, следует ли это из взаимной простоты $a, b, c$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 94 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group