2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Декартово произведение семейства множеств
Сообщение16.03.2017, 20:47 


04/10/16
20
Помогите разобраться в определении произведения семейства множеств.
Определение: Декартовым произведением $\prod\limits_{s\in S}{{{A}_{s}}}$ называется произведение семейства множеств ${{\left\{ {{A}_{s}} \right\}}_{s\in S}}$, т. е. множество всех функций $f$ из $S$ в $\bigcup\limits_{s\in S}{{{A}_{s}}}$, таких, что $f\left( s \right)\in {{A}_{s}}$ для любого $s\in S$.

Выше в книге было дано определение, что декартово произведение двух множеств есть упорядоченная пара $\left\{ \left\{ x \right\},\left\{ x,y \right\} \right\}$. Тогда, как я понимаю, произведение трёх множеств даёт уже множество кортежей, длина которых равна 3?

Вот пример того, как я понимаю описанное мною выше определение:
Пусть дано семейство множеств ${{\left\{ {{A}_{s}} \right\}}_{s\in S}}$ и $S=\left\{ 1,2,3 \right\}$. Тогда получается, что дано семейство, состоящее из трёх множеств $\left\{ {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right\}$. Пусть далее для определённости имеем: ${{A}_{1}}=\left\{ 1,2,3 \right\}$, ${{A}_{2}}=\left\{ 3,5,6 \right\}$, ${{A}_{3}}=\left( 7,8,9 \right)$. Тогда:
$\prod\limits_{s=1}^{3}{{{A}_{s}}}={{A}_{1}}\times {{A}_{2}}\times {{A}_{3}}=\left\{ \left\{ 1,3,7 \right\},\left\{ 1,3,8 \right\},\left\{ 1,3,9 \right\},\left\{ 1,5,7 \right\},\left\{ 1,5,8 \right\}, \right.$
$\left\{ 1,5,9 \right\},\left\{ 1,6,7 \right\},\left\{ 1,6,8 \right\},\left\{ 1,6,9 \right\},\left\{ 2,3,7 \right\},\left\{ 2,3,8 \right\},\left\{ 2,3,9 \right\},$
$\left\{ 2,5,7 \right\},\left\{ 2,5,8 \right\},\left\{ 2,5,9 \right\},\left\{ 2,6,7 \right\},\left\{ 2,6,8 \right\},\left\{ 2,6,9 \right\},\left\{ 3,3,7 \right\},\left\{ 3,3,8 \right\},\left\{ 3,3,9 \right\},$
$\left\{ 3,5,7 \right\},\left\{ 3,5,8 \right\},\left\{ 3,5,9 \right\},\left\{ 3,6,7 \right\},\left\{ 3,6,8 \right\},\left\{ 3,6,9 \right\} $

И вот теперь собственно затруднение: в определении говорится, что декартово произведение семейства есть множество функций $f$ из $S$ в $\bigcup\limits_{s\in S}{{{A}_{s}}}$, таких, что $f\left( s \right)\in {{A}_{s}}$ для любого $s\in S$.
В моём примере возьму $s=3$, тогда $f\left( 3 \right)\in {{A}_{3}}$. То есть получается, что $f\left( 3 \right)$ может принимать значения только $7$, $8$ или $9$. То есть такое множество функций, значение которых в точке 3 равно $7$, $8$ или $9$? Вот здесь у меня тупик. Почему значение функции вычисляется именно в точках $s\in S$, ведь это всего лишь индекс?
Если можно, то дайте альтернативное определение и пример, который его поясняет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение семейства множеств
Сообщение16.03.2017, 20:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5090
lituskirill в сообщении #1201000 писал(а):
Выше в книге было дано определение, что декартово произведение двух множеств есть упорядоченная пара $\left\{ \left\{ x \right\},\left\{ x,y \right\} \right\}$.
Быть этого не может. Загляните в книжку еще раз и внимательно прочтите определение декартова произведения двух множеств. Воспроизведите точную цитату здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение семейства множеств
Сообщение16.03.2017, 20:58 


04/10/16
20
Anton_Peplov в сообщении #1201002 писал(а):
lituskirill в сообщении #1201000 писал(а):
Выше в книге было дано определение, что декартово произведение двух множеств есть упорядоченная пара $\left\{ \left\{ x \right\},\left\{ x,y \right\} \right\}$.
Быть этого не может. Загляните в книжку еще раз и внимательно прочтите определение декартова произведения двух множеств. Воспроизведите точную цитату здесь.

Ой, ошибся, моя вина. Декартово произведение двух множеств - это множество упорядоченных пар

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение семейства множеств
Сообщение16.03.2017, 21:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5090
lituskirill в сообщении #1201003 писал(а):
Декартово произведение двух множеств - это множество упорядоченных пар
Множество всех упорядоченных пар $(x, y)$ таких, что $x \in X, y \in Y$.
Упорядоченные пары, тройки и вообще $n$-ки принято обозначать круглыми или угловыми скобками, а не фигурными, чтобы отличать их от множеств.
Да, укажите, пожалуйста, книгу, которую Вы цитируете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение семейства множеств
Сообщение16.03.2017, 21:13 


04/10/16
20
Anton_Peplov в сообщении #1201007 писал(а):
lituskirill в сообщении #1201003 писал(а):
Декартово произведение двух множеств - это множество упорядоченных пар
Множество всех упорядоченных пар $(x, y)$ таких, что $x \in X, y \in Y$.
Упорядоченные пары, тройки и вообще $n$-ки принято обозначать круглыми или угловыми скобками, а не фигурными, чтобы отличать их от множеств.
Да, укажите, пожалуйста, книгу, которую Вы цитируете.

Энгелькинг "Общая топология" (введение)

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение семейства множеств
Сообщение16.03.2017, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21259
Уфа
Функции из этого определения — это обобщения кортежей, посколько из упорядоченных пар вы построить сможете только конечные кортежи, и притом элементы у этих кортежей должны будут быть пронумерованы натуральными числами, а произвольное множество индексов не имеет какого-то «единственно правильного изоморфизма» в начальный отрезок натурального ряда, когда вообще имеет (оно ведь может быть несчётным). Потому мы берём в качестве «обобщённого кортежа» функцию, и его $s$-м элементом назначаем значение этой функции в $s$.

Теперь если взять целиком всё множество функций $S\to\bigcup\limits_{s\in S}A_s$, среди них будут лишние — у которых какой-нибудь $s$-й элемент не принадлежит $A_s$, а принадлежит какому-то другому множеству семейства (если только они все не совпадают). Мы такие не заказывали, вот и приходится добавлять ограничение.

Кроме упомянутой проблемы со скобками тут надо ещё заметить на всякий случай, что «старое» декартово произведение пары множеств, которое остаётся нужным для определения функций, и «новое» для любого семейства из двух множеств никогда не совпадут как множества. То есть, строго говоря, тройка $(1,2,3)\equiv((1,2),3)\equiv\{\{(1,2)\},\{(1,2),3\}\}$, входящая в $\{1\}\times\{2\}\times\{3\}$, не входит в $\prod_{i\in1..3} \{i\}$, а входит в него соответствующая ей функция с графиком $\{(1,1),(2,2),(3,3)\}$. Можно их отождествлять, когда семейство индексировано каким-то конечным линейно упорядоченным множеством, т. к. все по-настоящему нужные нам от декартова произведения вещи будут у них аналогичными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение семейства множеств
Сообщение16.03.2017, 21:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12937
Москва
Декартово произведение индексированного набора множеств - множество всевозможных наборов элементов, взятых строго по одному из каждого индексированного множества, причем каждый взятый элемент должен нести информацию, из какого множества он был взят.
В случае конечного множества индексов указание, из какого множества был взят элемент набора определяется его местом в упорядоченном наборе элементов. Предложите свой вариант, как описАть такие наборы в случае, когда индексирующее множество бесконечно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение семейства множеств
Сообщение16.03.2017, 22:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5090
Ух, сколько тут написали, пока я набирал свое сообщение. Ну да ладно, пусть оно будет. Кажется, среди всех наличных на данный момент оно самое рабоче-крестьянское.

Мы можем сказать, что произведение двух множеств есть множество упорядоченных пар, произведение трех множеств есть множество упорядоченных троек, и так далее. Все это верно. Но как мы определим произведение бесконечного семейства множеств? Очевидно, придется переработать определение, сделав его более абстрактным, но пригодным для бесконечных семейств. Эту задачу и решает Энгелькинг.
Нам нужно как-то обобщить понятия "первый элемент в $n$-ке", "второй элемент в $n$-ке" и т.д., чтобы определение годилось для бесконечного и даже несчетного случая. Пусть, например, $\rm{Children} = \{\text{мальчик, девочка}\}$, $\rm{Fruits} = \{\text{яблоко, апельсин}\}$. Множество $\rm{Children} \times \rm{Fruits}$ состоит из упорядоченных пар: $\text{(мальчик, яблоко), (мальчик, апельсин), (девочка, яблоко), (девочка, апельсин)}$. Рассмотрим упорядоченную пару $\text{(мальчик, яблоко)}$. Мы говорим, что "мальчик" элемент с номером 1, "яблоко" - элемент с номером 2. Т.е. мы задали функцию $f$, определенную на множестве $\{1, 2\}$, такую, что $f(1) = \text{мальчик}$, $f(2) = \text{яблоко}$. Если мы возьмем пару $\text{(мальчик, апельсин)}$, то мы задали другую функцию $g$, определенную на множестве $\{1, 2\}$, такую, что $g(1) = \text{мальчик}$, $g(2) = \text{апельсин}$. Четыре пары эквивалентны четырем функциям, определенным на множестве номеров $\{1, 2\}$. Хорошо, область определения у них общая, а вот что с областью значений? Оказывается, что и область значений можно сделать общей - множество $\rm{Children} \cup \rm{Fruits}$, но договориться, что для любой функции $\varphi$ из этих четырех $\varphi(1)$ всегда ребенок, а $\varphi(2)$ всегда фрукт. Это определение удобно тем, что функции запросто можно задавать и на бесконечных множествах, поэтому на случай бесконечного семейства множеств определение переносится дословно. Понятна мысль сия неглубокая?

Осталось сказать, что множество функций определенных на $\{1, 2\}$, конечно, не есть в строгом смысле множество упорядоченных пар. Функция порождает упорядоченную пару, но не является ею, у функции свое определение. Тем не менее, между функциями и упорядоченными парами есть очевидное взаимно однозначное соответствие. Энгелькинг сам говорит об этом на с. 20. Это взаимно однозначное соответствие и позволяет, допуская вольность речи, называть то и другое декартовым произведением.

Да, и Энгелькинг - это не учебник для начинающих. Для первого чтения, для знакомства с предметом надо выбирать что-нибудь подружелюбнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение семейства множеств
Сообщение16.03.2017, 22:10 


04/10/16
20
Anton_Peplov в сообщении #1201021 писал(а):
Да, и Энгелькинг - это не учебник для начинающих. Для первого чтения, для знакомства с предметом надо выбирать что-нибудь подружелюбнее.

Да, теперь всё ясно, спасибо большое. А что Вы посоветуете для начинающих из этой области?

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение семейства множеств
Сообщение16.03.2017, 22:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5090
lituskirill в сообщении #1201022 писал(а):
А что Вы посоветуете для начинающих из этой области?
Из какой? Начала теории множеств или общая топология?

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение семейства множеств
Сообщение16.03.2017, 22:26 


04/10/16
20
Anton_Peplov в сообщении #1201024 писал(а):
Из какой? Начала теории множеств или общая топология?

Ну так как возникли проблемы именно с теорией множеств (до самой топологии ещё даже не дошёл), то из этой области.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение семейства множеств
Сообщение16.03.2017, 22:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12937
Москва
По теории множеств: Архангельский Канторовская теория множеств, Верещагин Н.К., Шень А. - Начала теории множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение семейства множеств
Сообщение16.03.2017, 22:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5090
По общей топологии мне очень нравится Виро, Иванов, Нецветаев, Харламов - Элементарная топология. Не скажу, что я прочел $100^{500}$ учебников общей топологии и, умудренный опытом, выбрал лучший, но мне нравится по нему учиться. А вообще пусть преподаватели советуют, им виднее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение семейства множеств
Сообщение16.03.2017, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12937
Москва
Книга от классика общей топологии: П.С. Александров Введение в теорию множеств и общую топологию. Неплохой учебник: Дж. Келли. Общая топология Прекрасный задачник: Архангельский А.В. Пономарев В.И. (1974) Основы общей топологии в задачах и упражнениях.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group