2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача на параметр сигма в нормальном распределении
Сообщение15.03.2017, 20:08 


29/11/16
14
Здравствуйте,

Пытаюсь решить задачу из учебника по теории вероятностей МГТУ им. Баумана (задача 4.39). Вот условие задачи.

Высотомер имеет случайную и систематическую погрешности. Систематическая погрешность равна 20 м. Случайная погрешность распределена по нормальному закону. Какую среднюю квадратичную погрешность должен иметь прибор, чтобы с вероятностью 0.9452 погрешность измерения высоты была меньше 10 м?

Если я правильно понимаю, то систематическая погрешность не имеет отношения к распределению случайной погрешности, т. е. параметр $m$ в формуле $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$ нормального распределения нулевой. Кроме того, чтобы погрешность измерения по модулю не превышала 10 м, случайная погрешность должна принадлежать интервалу (-30, -10). Тогда, как следует из учебника, вероятность попадания случайной погрешности в этот интервал равна

$$\Phi _0\left(\frac{-10}{\sigma}\right) - \Phi _0\left(\frac{-30}{\sigma}\right),$$

где $\Phi _0$ - интеграл Лапласа. А тогда, поскольку интеграл не берущийся, приходится, используя таблицы, искать методом перебора такое значение $\sigma$, при котором данная разность будет равна 0.9452. Но я не уверен, что авторы имели в виду такой метод решения. Значит, какая-то деталь в этой задаче ускользает от моего внимания.

Буду очень благодарен, если кто-то сможет сориентировать меня в нужном направлении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр сигма в нормальном распределении
Сообщение15.03.2017, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
JSBach в сообщении #1200706 писал(а):
параметр $m$ в формуле $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$ нормального распределения нулевой. Кроме того, чтобы погрешность измерения по модулю не превышала 10 м, случайная погрешность должна принадлежать интервалу (-30, -10).

Первое не согласуется со вторым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр сигма в нормальном распределении
Сообщение15.03.2017, 21:01 


29/11/16
14
Brukvalub в сообщении #1200716 писал(а):
JSBach в сообщении #1200706 писал(а):
параметр $m$ в формуле $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$ нормального распределения нулевой. Кроме того, чтобы погрешность измерения по модулю не превышала 10 м, случайная погрешность должна принадлежать интервалу (-30, -10).

Первое не согласуется со вторым.


Не совсем понимаю, что Вы имеете в виду. Ведь, если верно то, что систематическая погрешность не связана с параметром $m$ (т. е. $m = 0$, то должно быть $\left |x+20\right | < 10$, откуда и следует, что $x\in (-30, -10)$. Или все-таки систематическая погрешность как-то связана с $m$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр сигма в нормальном распределении
Сообщение15.03.2017, 21:42 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Систематическая погрешность фиксирована - если намеряли $x$ метров, то высота $x - 20$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр сигма в нормальном распределении
Сообщение15.03.2017, 22:46 


29/11/16
14
AV_77 в сообщении #1200734 писал(а):
Систематическая погрешность фиксирована - если намеряли $x$ метров, то высота $x - 20$.


Я так и думал. Правда, остается сомнение относительно понимания термина "случайная погрешность". Я так понял, что это "добавочная" погрешность - которая приплюсовывается к систематической. Т. е. общая погрешность измерения равна $H + 20 + x$, где $H$ - действительная высота, а $x$ - случайная погрешность. Тогда общая погрешность измерений равна $H + 20 + x - H = 20 + x$ и это значение не должно по модулю превышать 10, откуда и следует что $x \in (-30, -10)$.

Если же под случайной погрешностью следует понимать общую погрешность, то что тогда выходит... Нужно ли тогда принять $m = 20$?. Но это все равно приводит к вычислению того же интеграла (т. е. с теми же пределами). Если же при этом $m = 0$, то вообще какая-то бессмыслица выходит. Но, даже если сделать такое предположение, то вычисления дают $\sigma = 5.2 метра$, а в ответе - 50 метров.

Где же собака зарыта?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр сигма в нормальном распределении
Сообщение15.03.2017, 23:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
К этому надо просто привыкнуть. Систематическая погрешность -- это матожидание (т.е. погрешность калибровки прибора), случайная -- это сигма (дополнительная погрешность за счёт неизвоиспроизводимости измерений из-за неизвестности того, какая утка и когда и на какое крыло ляжет).

Ну это просто такой физический жаргон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр сигма в нормальном распределении
Сообщение17.03.2017, 15:05 


29/11/16
14
ewert в сообщении #1200782 писал(а):
Систематическая погрешность -- это матожидание (т.е. погрешность калибровки прибора)


Значит имеем $m = 20$, а погрешность должна принадлежать интервалу $(-10, 10)$. Тогда выходит, что вероятность равна
$$\Phi_0(\frac{10-20}{\sigma}) - \Phi_0(\frac{-10-20}{\sigma}) = \Phi_0(\frac{-10}{\sigma}) - \Phi_0(\frac{-30}{\sigma})$$
т. е. я снова прихожу к тому же выражению, что и раньше. Я уже даже смирился с мыслью, что значение сигма придется искать перебором. Но, проблема в том, что проведя обратный анализ - подставив в полученное выражение значение сигма из ответа (50) - я получаю 0.14649 вместо 0.9452.
Я даже попробовал предположить, что значения аргумента $\Phi_0$ должны (в правильном ответе) быть симметричны относительно начала координат, т. е. должно быть $2\Phi_0(\frac{y}{50}) = 0.9452$. Но тогда получаем $y = 96$, что никак не согласуется с условием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр сигма в нормальном распределении
Сообщение09.08.2018, 23:44 


29/11/16
14
После некоторого перерыва решил вернуться к этому учебнику и опять наткнулся на трудности с данной задачей. Поиск в интернете дал ссылку на ресурс с решением практически такой же задачи (только значения в условии немного отличаются).
Вот ссылка:
https://studfiles.net/preview/2015038/page:6/

Прочитав и проанализировав решение на указанном ресурсе, пришел к выводу, что мои рассуждения были все-таки верными в целом. Были некоторые нюансы, но все равно в конечном итоги все приходит к вычислению выражения

$$\Phi_0(\frac{30}{\sigma}) - \Phi_0(\frac{10}{\sigma})$$

Из этого выражения очевидно, что искомая вероятность не может быть больше $0.5$. Однако в условии требуется $0.9452$. Значит, какие-то из данных в условии не верны. В варианте задачи на приведенном выше ресурсе дано $100$ метров вместо $10$.
Если использовать это значение в моей задаче, то все сходится (правда, авторы округлили ответ).

К сожалению, из этого приходится сделать вывод, что никто из ответивших, по всей видимости, не удосужился попытаться решить задачу. То, что данные в условии не сходятся, стало бы очевидным для специалиста, попытавшегося эту задачу решить, и следовало бы указать в первую очередь именно на это (я на месте помогающего так и сделал бы).

Кроме того, несколько удивило то, что искомое значение действительно (как я и предполагал) приходится искать подбором. Видимо, это характерно для некоторых задач из некоторых разделов математики - теории вероятностей в частности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр сигма в нормальном распределении
Сообщение10.08.2018, 08:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
При измерениях систематическую погрешность (определённую при поверке и занесённую в паспорт прибора) вычитают. То есть учитывать её в данной задаче вообще не надо. Для чего она приведена - возможно, имитируется реальный расчёт, при котором она задана, и расчётчик должен понимать, какие данные нужны для расчёта, а какие нет.
Следовательно, нужно решить относительно сигмы уравнение
$\Phi(\frac {10}\sigma)-\Phi(\frac{-10}\sigma)=p$
Перебор - один из способов решения, но не лучший. Вообще-то надо применить какой-то способ решения нелинейных уравнений, например, Ньютона. Но в частном случае может хватить и перебора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр сигма в нормальном распределении
Сообщение10.08.2018, 10:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Евгений Машеров в сообщении #1331538 писал(а):
Перебор - один из способов решения, но не лучший. Вообще-то надо применить какой-то способ решения нелинейных уравнений, например, Ньютона. Но в частном случае может хватить и перебора.
А в данном случае наверняка нужно воспользоваться таблицей значений функции $\Phi(x)$, имеющейся в учебнике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр сигма в нормальном распределении
Сообщение10.08.2018, 14:07 
Заблокирован


16/04/18

1129
Ф - нечётная? Можно упростить уравнение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр сигма в нормальном распределении
Сообщение10.08.2018, 14:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Она не нечётная, но может быть представлена суммой константы и нечётной функции. Так что для данных значений аргумента расчёт, как тут подсказывают, сведётся к заглядыванию в имеющуюся в большинстве учебников таблицу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр сигма в нормальном распределении
Сообщение10.08.2018, 15:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Судя по некоторым косвенным признакам, у топикстартера нечётная: $$\Phi(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^xe^{-\frac{t^2}2}dt.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр сигма в нормальном распределении
Сообщение10.08.2018, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Такая - нечётная. Я о функции распределения, которая в минус бесконечности ноль, в плюс бесконечности один.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр сигма в нормальном распределении
Сообщение10.08.2018, 23:12 


29/11/16
14
Евгений Машеров в сообщении #1331538 писал(а):
То есть учитывать её в данной задаче вообще не надо.


Не согласен. Такой вариант я уже пробовал еще при первом подходе к решению задачи. Если подставить в формулу $\Phi_0(\frac{10}{\sigma}) - \Phi_0(\frac{-10}{\sigma})$ приведенный в учебнике ответ $50$ метров, то вероятность получается очень далекой от требуемой. Кроме того, авторы все-таки пишут не "случайная погрешность", а просто "погрешность", когда требуют, чтобы она была меньше $10$ метров. Значит все-таки имеется в виду вся погрешность: систематическая плюс случайная.

Someone в сообщении #1331619 писал(а):
Судя по некоторым косвенным признакам, у топикстартера нечётная: $$\Phi(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^xe^{-\frac{t^2}2}dt.$$


Совершенно верно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group