2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача из теории вероятностей
Сообщение14.03.2017, 19:02 
Аватара пользователя


26/11/14
754
Доброго всем времени суток. Решаю задачу 2-мя способами. В корзине лежат 7 черных и 3 белых шара. Случайным образом вынимают без возвращения один шар, затем второй. Найти вероятность того, что во второй раз будет извлечен белый шар.
Способ 1:
Обозначим вероятности вытащить белый и черный шар соответственно: $p(W), p(B) $. Тогда вероятность вытащить первый раз белый шар $p(W)=\frac{3}{10}$ , а черный: $ p(B)= \frac{7}{10} $. Вероятность вытащить белый шар во второй раз:
- при условии, что в первый раз был извлечен белый шар: $p(W/W)=\frac{2}{9}$,
- при условии, что в первый раз был извлечен черный шар: $p(W/B)=\frac{3}{9}$.
Тогда вероятность того, что во второй раз будет извлечен белый шар: $p(W)=p(W)p(W/W) + p(B)p(W/B) = \frac{3}{10} \frac{2}{9} + \frac{7}{10} \frac{3}{9} = \frac{3}{10}$. Все ли верно?

Способ 2: (комбинаторный): с этим проблема, но не теряю надежды:
Количество способов выбрать сначала черный шар, а затем белый $7 \cdot 3$ . Количество способов выбрать два белых шара из всех десяти: $C_{10}^2$. Попытка найти вероятность выбора белого при втором изъятии: $p(W)=\frac{7 \cdot 3}{C_{10}^2} + \frac{C_{3}^2}{C_{10}^2} = \frac{24}{45}$. Не сходится. Подскажите, где ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из теории вероятностей
Сообщение14.03.2017, 19:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Stensen в сообщении #1200356 писал(а):
Не сходится. Подскажите, где ошибка?

А как оно может сойтись, если у Вас во втором способе полная мешанина из учётов и неучётов порядка следования шаров.

Между прочим, есть ещё и третий способ: "очевидно, что $\frac3{10}$".

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из теории вероятностей
Сообщение15.03.2017, 19:29 
Аватара пользователя


26/11/14
754
ewert в сообщении #1200362 писал(а):
Stensen в сообщении #1200356 писал(а):
Не сходится. Подскажите, где ошибка?
А как оно может сойтись, если у Вас во втором способе полная мешанина из учётов и неучётов порядка следования шаров.
Количество способов выбрать:
- сначала черный шар, а затем белый $ C_{7}^1 $C_{3}^1 = 7 \cdot 3$ ,
- два белых шара: $C_{3}^2$ ,
- два любых шара из десяти: $C_{10}^2$ .

Вероятность выбора:
- белого шара при втором изъятии: $p(BW)=\frac{7 \cdot 3}{C_{10}^2} $ ,
- два белых шара: $p(WW)=\frac{C_3^2}{C_{10}^2} $ .
До сих пор все ли верно?

ewert в сообщении #1200362 писал(а):
Между прочим, есть ещё и третий способ: "очевидно, что $\frac3{10}$".
Попутно пришла в голову мысль: если "очевидно, это $\frac{3}{10}$", то "неочевидно, это $\frac{7}{10}$". Забавно . :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из теории вероятностей
Сообщение15.03.2017, 21:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Stensen в сообщении #1200692 писал(а):
До сих пор все ли верно?
Нет. У Вас ведь спрашивают вероятность того, что второй вынутый шар будет белым. А Вы считаете неупорядоченные выборки. Это как-то нехорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из теории вероятностей
Сообщение21.03.2017, 19:14 
Аватара пользователя


26/11/14
754
Someone в сообщении #1200735 писал(а):
У Вас ведь спрашивают вероятность того, что второй вынутый шар будет белым. А Вы считаете неупорядоченные выборки. Это как-то нехорошо.
Количество способов выбрать:
- сначала черный шар, а затем белый $ = 7 \cdot 3$ ,
- два белых шара $ = 3 \cdot 2 $ ,
- два любых шара из десяти с учетом порядка (размещения): $A_{10}^2 = 90$ .
Поскольку эти события несовместны, то количество способов вытащить белый шар во втором изъятии суммируются: $p =\frac{7 \cdot 3 + 3 \cdot 2}{A_{10}^2} = \frac{3}{10}$ ,

Все ли теперь верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из теории вероятностей
Сообщение21.03.2017, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Теперь верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из теории вероятностей
Сообщение22.03.2017, 09:37 
Аватара пользователя


26/11/14
754
Спасибо всем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из теории вероятностей
Сообщение22.03.2017, 22:00 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Stensen в сообщении #1200692 писал(а):
пришла в голову мысль: если "очевидно, это $\frac{3}{10}$", то "неочевидно, это $\frac{7}{10}$". Забавно . :roll:

Забавно лишь как игра слов. Но логически она (мысля и игра) неверна. Из очевидности утверждения может следовать лишь очевидная неверность утверждения, ему не соответствующего. А вовсе не его неочевидность.

Вы всё же прикиньте, почему 3/10 должно быть воистину очевидно заранее, до всякого счёта. Да, эту "очевидность" не так просто формализовать. Но зато она чётко указывает, на что надо нацеливаться.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group