2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать неравенство
Сообщение13.03.2017, 18:36 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Докажите, что если ${x_1} \geqslant {x_2} \geqslant ... \geqslant {x_n} \geqslant 0$ и $\frac{{{x_1}}}{{\sqrt 1 }} + \frac{{{x_2}}}{{\sqrt 2 }} + ...\frac{{{x_n}}}{{\sqrt n }} = 1$, то выполнено неравенство
$$x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 \leqslant 1$$
Я пытался воспользоваться тем, что
$${\left( {\frac{{{x_1}}}{{\sqrt 1 }} + \frac{{{x_2}}}{{\sqrt 2 }} + ...+ \frac{{{x_n}}}{{\sqrt n }}} \right)^2} = \frac{{{x_1}}}{{\sqrt 1 }} + \frac{{{x_2}}}{{\sqrt 2 }} + ...+ \frac{{{x_n}}}{{\sqrt n }} = 1$$
но такое преобразование мало что дало. Ну, а еще я заметил, что $1 \geqslant {x_1}$. В принципе все. Можете дать дополнительные указания?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение13.03.2017, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Попробуйте доказать более сильное (но более простое) утверждение: если $y_{1}\geqslant y_{2}\geqslant\dotsb\geqslant y_{n}\geqslant0$, $y_{1}+y_{2}+\dotsb+y_{n}=1$, то $y_{1}^{2}+2y_{2}^{2}+\dotsb+ny_{n}^{2}\leqslant1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение13.03.2017, 20:25 


26/08/11
2057
$x_1^2\le \dfrac{x_1}{\sqrt 1},\;x_2^2\le \dfrac{x_2}{\sqrt 2},\;x_3^2\le \dfrac{x_3}{\sqrt 3}\cdots$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение13.03.2017, 20:28 
Заслуженный участник


10/01/16
2315

(Оффтоп)

Загатка: Балшой, белый, пушистый, висит на стене и пищит

А я угадал!
Давайте ослабим условия:$y_1 \geqslant y_2 \geqslant ...\geqslant y_n \geqslant 0$,
$y_1 +y_2 +...+ y_n =1$
но усилим заключение: $y_1^2 + 3y_2^2 + 5y_3^2 +...+ (2n-1)y_n^2 \leqslant 1$.
Получится известная задача, решаемая рисованием квадрата один на один, проведением вертикальных-горизонтальных прямых, и надписью СМОТРИ!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение13.03.2017, 22:35 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Shadow в сообщении #1200012 писал(а):
$x_1^2\le \dfrac{x_1}{\sqrt 1},\;x_2^2\le \dfrac{x_2}{\sqrt 2},\;x_3^2\le \dfrac{x_3}{\sqrt 3}\cdots$

Мда, хороший шаг к доказательству, только вот как это показать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение13.03.2017, 23:16 


26/08/11
2057
Rusit8800 в сообщении #1200058 писал(а):
только вот как это показать?
Если допустим, что для некоторого $k$, $x_k>\dfrac{1}{\sqrt k}$, то $\dfrac{x_k}{\sqrt k}>\dfrac 1 k$, а предыдущие слагаемые уж всяко болше данного...и в сумме что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение14.03.2017, 16:44 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Shadow в сообщении #1200069 писал(а):
Если допустим, что для некоторого $k$, $x_k>\dfrac{1}{\sqrt k}$, то $\dfrac{x_k}{\sqrt k}>\dfrac 1 k$, а предыдущие слагаемые уж всяко болше данного...и в сумме что?

Честно, не уловил мысль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение14.03.2017, 21:11 


26/08/11
2057
Rusit8800 в сообщении #1199962 писал(а):
${x_1} \geqslant {x_2} \geqslant ... \geqslant {x_n} \geqslant 0$ и $\frac{{{x_1}}}{{\sqrt 1 }} + \frac{{{x_2}}}{{\sqrt 2 }} + ...\frac{{{x_n}}}{{\sqrt n }} = 1$

Слагаемые в данной сумме уменьшаются. Потому что по условию числители не увеличиваются, а знаменатели увеличиваются. (случай с нулями тривиален).

И для каждого слагаемого данной суммы можно сказать, что $\dfrac{x_k}{\sqrt k} \le \dfrac{1}{k}$ (иначе сумма первых $k$ слагаемых превзойдет 1).

(Оффтоп)

Я сам себе делаю замечание, просто не люблю когда меня не понимают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение16.03.2017, 20:44 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Shadow в сообщении #1200402 писал(а):
иначе сумма первых $k$ слагаемых превзойдет 1

Это от противного доказывать, просто не очевидно?

-- 16.03.2017, 21:48 --

Хотя нет, очевидно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group