Задача по корням из 1 из Кострикина (22.16)

[Resalmon]

Всем привет!

Пытаюсь решить задачу, не складывается. Вот условие:

Доказать, что если числа $r$ и $s$ взаимно просты, то $\varepsilon$ является первообразным корнем степени $rs$ из единицы тогда и только тогда, когда $\varepsilon$ является произведением первообразного корня степени $r$ и первообразного корня степени $s$.

Формулу для произведения первообразных корней получил, а как доказать, что обязательно для $rs$ будет такая форма, не понимаю. Буду очень благодарен, если сообщество поможет.
Спасибо заранее!

[AV_77]

Свойства НОД вспомните и все получится.

[Resalmon]

AV_77 в сообщении #1199529 писал(а):

Свойства НОД вспомните и все получится.

Мне непонятно. Вид получается такой:
$\varepsilon_s \varepsilon_r = \varepsilon = \cos\frac{2\pi (r+s)}{rs} + i\sin\frac{2\pi(r+s)}{rs}$.
И почему я не могу говорить просто
$\varepsilon = \cos\frac{2\pi}{rs} + i\sin\frac{2\pi}{rs}?$
Он не является произведением, но является ведь образующим корнем. Не понимаю.

[mihaild]

Задача: пусть $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ - два первообразных корня степени $n$. Что можно сказать о решениях относительно $k$ уравнения $\varepsilon_1^k = \varepsilon_2$?

[Resalmon]

mihaild в сообщении #1199539 писал(а):

Задача: пусть $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ - два первообразных корня степени $n$. Что можно сказать о решениях относительно $k$ уравнения $\varepsilon_1^k = \varepsilon_2$?

Нет решений, только $k=1$.

Я не понимаю вот чего. Если, например, $r=3$, $s=4$, то по задаче получается, что
$\varepsilon_{12} = \cos\frac{2\pi}{12} + i\sin\frac{2\pi}{12}$
не будет первообразным корнем. Я не понимаю, почему.

[arseniiv]

А вот и неверно. Что там с определением первообразного корня? Он не обязательно единственный для каждой степени.

[Resalmon]

arseniiv в сообщении #1199543 писал(а):

А вот и неверно. Что там с определением первообразного корня? Он не обязательно единственный для каждой степени.

"Корень $n$-й степени из 1 первообразный, если он не является корнем из 1 никакой меньшей степени"

[Slav-27]

Про задачу mihaild: найдите все 4 первообразных корня 4-й степени из единицы и увидьте, что это

Resalmon в сообщении #1199540 писал(а):

Нет решений, только $k=1$.

неправда.

[arseniiv]

Resalmon в сообщении #1199540 писал(а):

Я не понимаю вот чего. Если, например, $r=3$, $s=4$, то по задаче получается, что
$\varepsilon_{12} = \cos\frac{2\pi}{12} + i\sin\frac{2\pi}{12}$
не будет первообразным корнем. Я не понимаю, почему.

Умножением чего вы его получили? Это же и правда первообразный корень степени $rs$. (Кстати, не проще ли корни из единицы записывать в виде $e^{\frac mn2\pi i}$ или $\exp\frac mn2\pi i$? Теорема Эйлера уже, наверно, известна?)

-- Вс мар 12, 2017 21:16:06 --

Slav-27 в сообщении #1199548 писал(а):

все 4 первообразных корня 4-й степени из единицы

Их же всего два.

[Slav-27]

Виноват, два.

[Resalmon]

arseniiv в сообщении #1199552 писал(а):

Resalmon в сообщении #1199540 писал(а):

Я не понимаю вот чего. Если, например, $r=3$, $s=4$, то по задаче получается, что
$\varepsilon_{12} = \cos\frac{2\pi}{12} + i\sin\frac{2\pi}{12}$
не будет первообразным корнем. Я не понимаю, почему.

Умножением чего вы его получили? Это же и правда первообразный корень степени $rs$. (Кстати, не проще ли корни из единицы записывать в виде $e^{\frac m/n 2\pi i}$ или $\exp\frac m/n 2\pi i$? Теорема Эйлера уже, наверно, известна?)

-- Вс мар 12, 2017 21:16:06 --

Slav-27 в сообщении #1199548 писал(а):

все 4 первообразных корня 4-й степени из единицы

Их же всего два.

В условии задачи говорится, что любой первообразный корень степени $rs$ должен получаться умножением первообразных корней степени $r$ и $s$. Это означает, что тот корень, который я записал, первообразным для степени $rs$ не является. Я не понимаю, почему так.
Проще, я дублирую запись из учебника. Да, известна.

[Slav-27]

Resalmon в сообщении #1199537 писал(а):

Мне непонятно. Вид получается такой:
$\varepsilon_s \varepsilon_r = \varepsilon = \cos\frac{2\pi (r+s)}{rs} + i\sin\frac{2\pi(r+s)}{rs}$

Вы делаете так, как будто есть только один первообразный корень степени $r$, и он равен $e^{\frac1r 2\pi i}$. Но это не так! Например для $r=4$ первообразный корень не только $e^{\frac14 2\pi i}$, но и $e^{\frac34 2\pi i}$.

Поэтому вид произведения первообразных корней, который вы пишете, не общий: надо учесть и остальные первообразные корни. А как выглядят остальные корни? -- Очевидно, что все первообразные корни степени $r$ представимы в виде $e^{\frac k r 2\pi i}$, где $k$ целое, $0<k<r$ (докажите, если сразу не понятно). Но для каких $k$ такой корень будет первообразным?

[Resalmon]

Slav-27 в сообщении #1199571 писал(а):

Resalmon в сообщении #1199537 писал(а):

Мне непонятно. Вид получается такой:
$\varepsilon_s \varepsilon_r = \varepsilon = \cos\frac{2\pi (r+s)}{rs} + i\sin\frac{2\pi(r+s)}{rs}$

Вы делаете так, как будто есть только один первообразный корень степени $r$, и он равен $e^{\frac1r 2\pi i}$. Но это не так! Например для $r=4$ первообразный корень не только $e^{\frac14 2\pi i}$, но и $e^{\frac34 2\pi i}$.

Поэтому вид произведения первообразных корней, который вы пишете, не общий: надо учесть и остальные первообразные корни. А как выглядят остальные корни? -- Очевидно, что все первообразные корни степени $r$ представимы в виде $e^{\frac k r 2\pi i}$, где $k$ целое, $0<k<r$ (докажите, если сразу не понятно). Но для каких $k$ такой корень будет первообразным?

Согласен, он такой не один. Виноват, я просто записал самый простой случай.
Я так понимаю, что такой корень первообразный для всех $k$, которые взаимно просты с $r$ и $k<r$.

[Slav-27]

Правильно! Ну теперь: первообразные корни степени $r$ -- это $e^{2\pi i \frac k r}$, где $k$ взаимно просто с $r$, степени $s$ -- $e^{2\pi i \frac l s}$, где $l$ взаимно просто с $s$, степени $rs$ -- $e^{2\pi i \frac m {rs}}$, где $m$ взаимно просто с $rs$.

Запишите произведение и подберите $k$ и $l$ так, чтобы получилось что надо.

[Resalmon]

Slav-27 в сообщении #1199581 писал(а):

Правильно! Ну теперь: первообразные корни степени $r$ -- это $e^{2\pi i \frac k r}$, где $k$ взаимно просто с $r$, степени $s$ -- $e^{2\pi i \frac l s}$, где $l$ взаимно просто с $s$, степени $rs$ -- $e^{2\pi i \frac m {rs}}$, где $m$ взаимно просто с $rs$.

Запишите произведение и подберите $k$ и $l$ так, чтобы получилось что надо.

Да, согласен. Не подумал, что сложение в показателе по модулю $rs$.
Спасибо всем большое! Пойду сыну объясню