2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Перестановка посылок
Сообщение06.03.2017, 17:26 


03/06/12
2745
Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, решение задачи. Пусть запись $(A\equiv B)$ обозначает $((A\supset B)\wedge(B\supset A))$. Хочу доказать, что $((A\supset(B\supset C))\equiv(B\supset(A\supset C)))$.
Доказательство. Пусть теорема дедукции уже доказана. $(A\supset(B\supset C))$ тогда и только тогда, когда ${A}\vdash(B\supset C)$, которая тогда и только тогда, когда ${A},{B}\vdash C$, которая тогда и только тогда, когда ${B},{A}\vdash C$, которая тогда и только тогда, когда ${B}\vdash(A\supset C)$, которая тогда и только тогда, когда $(B\supset(A\supset C))$. Итак, я доказал, что с помощью теоремы о дедукции можно доказать, что $(A\supset(B\supset C))\vdash(B\supset(A\supset C))$. Но по той же теореме о дедукции это означает, что $((A\supset(B\supset C))\supset(B\supset(A\supset C)))$. Т.к. в приведенном выше доказательстве использовалось "тогда и только тогда", то рассуждение обратимо, и, значит, выводимо $((B\supset(A\supset C))\supset(A\supset(B\supset C)))$. А тогда, в силу аксиомы $((P\supset Q)\supset((P\supset R)\supset(P\supset(Q\wedge R))))$ выводимо и $(((A\supset(B\supset C))\supset(B\supset(A\supset C))) \wedge ((B\supset(A\supset C))\supset(A\supset(B\supset C))))$. Что вы думаете по поводу такого доказательства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановка посылок
Сообщение06.03.2017, 17:48 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Хорошее доказательство, если ещё до этого ввести на основании теоремы о дедукции и указанной аксиомы производное правило вывода $\dfrac{A,\quad B}{A\wedge B}$. Тогда всё будет примерно на одном уровне абстракции, как-то приятнее будет смотреться.

Sinoid в сообщении #1197661 писал(а):
Т.к. в приведенном выше доказательстве использовалось "тогда и только тогда", то рассуждение обратимо, и, значит, выводимо $((B\supset(A\supset C))\supset(A\supset(B\supset C)))$.
Кстати, можно добиться того же, не используя обратимость, просто сделав замену $[A/B, B/A]$ (одновременно) и использовав теорему $(\Gamma\vdash A)\Rightarrow(\Gamma[\ldots]\vdash A[\ldots])$, где $[\ldots]$ — корректная для любой формулы из $\Gamma\cup\{A\}$ замена.

-- Пн мар 06, 2017 19:49:20 --

(В логике высказываний все замены корректны.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановка посылок
Сообщение06.03.2017, 18:23 


03/06/12
2745
arseniiv в сообщении #1197665 писал(а):
если ещё до этого ввести на основании теоремы о дедукции и указанной аксиомы производное правило вывода $\dfrac{A,\quad B}{A\wedge B}$.

Это утверждение у меня записано в качестве леммы, на которую я при записи решений у себя ссылаюсь.
arseniiv в сообщении #1197665 писал(а):
Кстати, можно добиться того же, не используя обратимость, просто сделав замену $[A/B, B/A]$ (одновременно) и использовав теорему $(\Gamma\vdash A)\Rightarrow(\Gamma[\ldots]\vdash A[\ldots])$, где $[\ldots]$ — корректная для любой формулы из $\Gamma\cup\{A\}$ замена.

я это свойство еще не доказал.

-- 06.03.2017, 19:53 --

Так это получается, вывод формул не всегда состоит из последовательных записей аксиом и выводов из них. Скажите, пожалуйста, вот запись $\neg A$ означает выводимость этой формулы и невыводимость формулы $A$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group