2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Числа 1, 441 и им подобные (если есть)
Сообщение06.03.2017, 01:58 
Аватара пользователя


01/12/11
5397
Известно ли вам, что общего у чисел 1 и 441?

1) Оба они - квадраты натуральных чисел.
2) Их суммы цифр - тоже.
3) А также произведения цифр.
4) Ну и наконец, количество делителей каждого из них - тоже квадрат натурального числа (у числа 1 один делитель, а у 441 ровно 9 делителей).

У меня такое ощущение, что её устроила цена что больше таких натуральных чисел нет.
А может, я ошибаюсь?
А вдруг их вообще бесконечно много?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа 1, 441 и им подобные (если есть)
Сообщение06.03.2017, 03:53 
Аватара пользователя


11/06/12
7049
Минск
Во-первых, вы упустили число $100$ ;-)
Ну а далее, пока не пришёл уважаемый gris с изящными теоретическими построениями, попробуем тупо в лоб.
Код:
goodNumberQ[n_] := AllTrue[{n, Total[IntegerDigits[n]], Times @@ IntegerDigits[n], DivisorSigma[0, n]}, IntegerQ[Sqrt[#]] &]
Select[Range[10^6], goodNumberQ]
Среди первого миллиона таких чисел нашлось 55. Начинается последовательность так: $1, 100, 441, 2601, 9025, 10000, 14884, 40401, 40804, 41209...$
И по понятным причинам их бесконечно много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа 1, 441 и им подобные (если есть)
Сообщение06.03.2017, 04:07 


13/02/17
11/07/17
240
Varanasi
Вероятно подразумевается, что речь идет о N, к которому 0 не относится. 0 является элементом $N_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа 1, 441 и им подобные (если есть)
Сообщение06.03.2017, 04:09 
Аватара пользователя


11/06/12
7049
Минск
Ах ты ж. Я забыл мнение уважаемой Ktina на этот счёт. Aether, вы совершенно правы. В таком случае насчёт бесконечности их количества вопрос остаётся открытым, а исправленную последовательность я сейчас предоставлю... Если не поленюсь.

-- 06.03.2017, 04:47 --

...Я не буду удалять тот ужас, что написал в посте post1197563.html#p1197563, пусть это служит мне напоминанием о безграничности моей глупости (и я сейчас вовсе не о причислении/непричислении нуля к натуральным числам) :facepalm: :facepalm: :facepalm:
Ну а исправленная последовательность, вот она:
$1, 441, 14884, 48841, 288369, 294849, 346921, 1234321, 1336336, 1833316...$. Среди первых десяти миллиардов натуральных чисел нужных нам нашлось сто семьдесят.
Код:
zeroFreeNumberQ[n_] := FreeQ[IntegerDigits[n], 0]
goodNumberQ[n_] :=  AllTrue[{Total[IntegerDigits[n]], Times @@ IntegerDigits[n], DivisorSigma[0, n]}, IntegerQ[Sqrt[#]] &]
Select[#^2 & /@ Range[10^5], goodNumberQ[#] && zeroFreeNumberQ[#] &]

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа 1, 441 и им подобные (если есть)
Сообщение06.03.2017, 05:15 


20/08/14
2401
Россия, Москва
Да, у меня получилось то же самое: $1, 441, 14884, 48841, 288369, 294849, 346921, 1234321, 1336336, 1833316, 2356225, 3767481, 6325225$ (до десяти миллионов).
До степеней 10: $1, 1, 2, 2, 4, 7, 13, 28, 66, 170, 432, 1116, 2904, 7959$ штук.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа 1, 441 и им подобные (если есть)
Сообщение06.03.2017, 05:41 
Аватара пользователя


11/06/12
7049
Минск
Ktina, можете даже добавить в анкету пятый пункт задачу пятое условие: число должно быть палиндромом. Как минимум два таких нашлись, единица и $1234321$ ;-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа 1, 441 и им подобные (если есть)
Сообщение06.03.2017, 10:27 
Аватара пользователя


01/12/11
5397
Aether в сообщении #1197565 писал(а):
Вероятно подразумевается, что речь идет о N, к которому 0 не относится. 0 является элементом $N_0$.

Да.

-- 06.03.2017, 10:29 --

Aritaborian
Dmitriy40
Большое спасибо!
Вопрос о счётности множества таких чисел, как я понимаю, остаётся открытым...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group