2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Критерий линейной независимости в V*
Сообщение05.03.2017, 16:14 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
$V-$ линейное пространство над произвольным полем $K.$ Доказать, что $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$ будет базисом в $V^*$ тогда и только тогда, когда не будет существовать такого ненулевого вектора $v\in V$, что $\varepsilon_1(v)=\cdots=\varepsilon_n(v)=0.$

В одну сторону это утверждение доказывается просто: достаточно рассмотреть базис в $V,$ по отношению к которому наш базис сопряжен. Там у каждого ненулевого вектора будет хотя бы одна ненулевая координата, которая неизбежно вылезет среди чисел $\varepsilon_i(v)$.

А вот другой конец палки оказался довольно крепким. Я пробовал отталкиваться от противного: допустил, что $\lambda_i\varepsilon_i \equiv 0$, то есть, что некоторая линейная комбинация наших функций $-$ нуль. Мне казалось, что подставляя в этот нуль в качестве аргументов различные $v\in V$, я смогу найти такое $v\in V$, что будет $\varepsilon_i(v)\ne 0.$ Но все мои попытки пока что были безуспешны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий линейной независимости в V*
Сообщение05.03.2017, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
SomePupil в сообщении #1197371 писал(а):
Доказать, что $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$ будет базисом в $V^*$ тогда и только тогда, когда не будет существовать такого ненулевого вектора $v\in V$, что $\varepsilon_1(v)=\cdots=\varepsilon_n(v)=0.$
В таком виде доказать не получится, т.к. это неправда. Возьмите $V = K = V^* = \mathbb{R}$, $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 1$.

Можно доказать, что эта система порождает всё пространство (до базиса останется линейная независимость). Для этого надо заметить, что функционал полностью определяется своими значениями на базисных векторах. Пишем матрицу $n \times k$ ($k$ - размерность пространства), $A_{i,j} = \varepsilon_i(e_j)$, и смотрим на ее ранг (сравниваем его с $k$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий линейной независимости в V*
Сообщение06.03.2017, 04:36 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
mihaild в сообщении #1197379 писал(а):
В таком виде доказать не получится, т.к. это неправда. Возьмите $V = K = V^* = \mathbb{R}$, $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 1$.

Справедливое замечание $-$ я по невнимательности пропустил условие $\text{dim}\,V = n.$ Но как же мне повезло, что у Вас есть талант решать задачи с переменными условиями :)

Дело в том, что Ваша подсказка работаем и в этом, новом случае. Выбираем в $V$ произвольный базис $\{e_j\}$ Составляем матрицу $A_{ij} = \varepsilon_i(e_j)$ размера $n\times n.$ Из нашего условия вытекает, что эта матрица невырожденна $-$ её строки составляют базис в $\mathbb R^n.$ Следовательно, любая линейная функция из $V^*$ представляется в виде линейной комбинации $\{\varepsilon_i \},$ то есть, эта система сюръективна. А когда у нас в системе $n$ векторов, то мы говорим сюръективность, подразумеваем $-$ инъективность! И, наоборот, говорим инъективность, подразумеваем $-$ сюръективность!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group