2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение04.03.2017, 23:52 
Аватара пользователя


01/12/11
5381
Докажите, что сумма попарных произведений восьми последовательных целых чисел не может равняться никакой степени целого числа выше первой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 00:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12730
Где у нас обычно прячется сумма попарных произведений? Нет, не там, а в квадрате суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 00:10 
Аватара пользователя


01/12/11
5381
gris
Лишнее :wink:
Эту задачу вполне можно и в 5 классе давить давать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 00:21 


13/02/17
11/07/17
240
Varanasi
А попарные произведения из этих последовательных чисел берутся произвольно или тоже последовательно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 00:27 
Аватара пользователя


01/12/11
5381
Aether в сообщении #1197223 писал(а):
А попарные произведения из этих последовательных чисел берутся произвольно или тоже последовательно?

От перестановки мест слагаемых...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 00:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12730
Это что-то связанное с шахматной доской, наверняка.
А вот если не побояться и взять два последовательных числи или три? Что будет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 00:36 


13/02/17
11/07/17
240
Varanasi
А я думаю, что нужно попытаться сложить квадрат из данных четырех прямоугольников, затем, увидев, что не получается сложить его, отрезать всё лишнее и попытаться ещё раз сложить, добавив это лишнее в недостающие места.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 00:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12730
А я вот никак не соображу простого решения :-( С квадратом-то понятно, а вот для пятиклашек как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 00:44 


13/02/17
11/07/17
240
Varanasi
Сложить в квадрат с выколотой единицей в середине. Но это доказывает только, что нельзя представить второй степенью, а не произвольной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 00:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12730
Я бы по некоторому :-) модулю проверил. Но без формулы складывать 28 произведений... А по формуле устно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 00:52 


13/02/17
11/07/17
240
Varanasi
А зачем складывать 28 произведений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 00:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12730
А сколько попарных произведений у восьми чисел? Вот тут вопрос, кстати. Мы с учётом порядка сомножителей их считаем или нет? Впрочем, это не влияет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 01:00 
Аватара пользователя


01/12/11
5381
gris в сообщении #1197229 писал(а):
А я вот никак не соображу простого решения :-( С квадратом-то понятно, а вот для пятиклашек как?

По арифмосту, разумеется. Раз чихнуть.

-- 05.03.2017, 01:02 --

Там остатки на 4 будут 01230123, мумма их попарных произдевений даёт остаток 2 при делении на 4.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 01:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12730
Ну это ясно, что по остаткам. Но как сложить-то?
А если берётся сумма с учётом порядка сомножителей? То есть, удвоенная? Почему бы ей не быть квадратом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 01:12 


13/02/17
11/07/17
240
Varanasi
$4a^2+28a+68\ne n^k, k>1, a>1$

Сам не знаю, что это я такое написал. Похоже пора спать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group