2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 На сколько нулей оканчивается (n!)!?
Сообщение03.03.2017, 11:28 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Рассмотрим последовательность 0 0 1 4 28 178 1258 10076 ... (количество нулей, на которое оканчиваются факториалы факториалов).
Первые 4 её члена - квадраты целых чисел и у меня такое подозрение, что больше квадратов там нет.
Каким бы образом это проверить?

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей оканчивается (n!)!?
Сообщение03.03.2017, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Некоторые предварительные рассуждения. Ясно, что количество нулей равно степени пятёрки — q —в разложении $(n!)!$ на простые множители. Ясно, как получить на бумажке эту степень: Делить $n!$ на $5$, брать целую часть и снова делить на $5$ до упора. Сложить частные. Ясно, что скобки целых частей в возрастанием $n$ исчезают. Можно написать очевидное неравенство $n!/5-1<q<n!/4$, причём $q$ приближается к правой границе. То есть при больших $n$ количество нулей будет приближаться к $n!/4$. А может ли такое число быть очень близко к квадрату?
Хотелось бы провести числовые эксперименты, но пока не могу.
Вот такие наивные рассуждения.
Господа! Хватит там кожуры чистить. Обратите внимание на милые задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей оканчивается (n!)!?
Сообщение03.03.2017, 23:37 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
gris
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей оканчивается (n!)!?
Сообщение03.03.2017, 23:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Ktina, какое спасибо? Ну да, получается, что и для следующего члена последовательности $90717$ он отличается от $9!/4=90720$ всего на $3$, а ближайший меньший квадрат равен $90601$, что совершенно не влезает в промежуток. Но вдруг есть такие факториалы, что... :?:
Всегда Вы так: только во вкус войдёшь, а Вы уже закрываетесь :-(
Вот и эксперимент: до тысячного члена никакой квадратной близости не отмечается, а даже наоборот: отмечается удаление. Ну и хорошо. Может быть, можно через Стирлинга как-то оценить?

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей оканчивается (n!)!?
Сообщение04.03.2017, 00:29 


13/02/17

317
Varanasi
$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{N((n!)!)}{N(((n-1)!)!)}}=n+1$ ???

.............................................

$\frac{90717}{10076}\approx9,003275$

$\frac{10076}{1258}\approx8,009538$

$\frac{1258}{178}\approx7,067415$

$\frac{178}{28}\approx6,357142$

$\frac{28}{4}=7,000000$

$\frac{4}{1}=4,000000$

С увеличением числа, отношение увеличивается примерно на 1, и не более чем на 1 и стремится к целому, неплохо бы проверить эту закономерность и дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей оканчивается (n!)!?
Сообщение04.03.2017, 00:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Aether в сообщении #1196934 писал(а):
неплохо бы проверить эту закономерность и дальше.
Уже:
gris в сообщении #1196836 писал(а):
То есть при больших $n$ количество нулей будет приближаться к $n!/4$

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей оканчивается (n!)!?
Сообщение04.03.2017, 01:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
А мне кажется, что сабж далёк от любых перфектных степеней :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей оканчивается (n!)!?
Сообщение04.03.2017, 01:15 


13/02/17

317
Varanasi
Мне тоже так кажется, но не всегда то, что кажется является тем, что есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей оканчивается (n!)!?
Сообщение04.03.2017, 01:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Aether, это можно так показать:
$N((n!)!)=\sum[n!/5^k]\to \sum n!/5^k=n!\sum 1/5^k=n!/4$

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей оканчивается (n!)!?
Сообщение04.03.2017, 01:37 


13/02/17

317
Varanasi
gris в сообщении #1196950 писал(а):
Aether, это можно так показать:
$N((n!)!)=\sum[n!/5^k]\to \sum n!/5^k=n!\sum 1/5^k=n!/4$


Ничего не понял, Вы показываете, что сабж свободен от любых перфектных степеней или объясняете так обнаруженную мной закономерность? Что-то я совсем туплю.

-- 04.03.2017, 02:38 --

Вот если бы найти точное выражение для N((n!)!) через n, хотя бы рекуррентное, но предчувствую, что его не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей оканчивается (n!)!?
Сообщение04.03.2017, 01:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Нет, это точная формула для количества нулей и её аппроксимация:
$N((n!)!)=\sum[n!/5^k]\to \sum n!/5^k=n!\sum 1/5^k=n!/4$
Конечно, "целая часть" не удобна для анализа, но можно сделать оценку количества первых слагаемых уже без необходимости "целой части" в зависимости от $n$.

Ваша закономерность видна: $N(((n+1)!)!)/N((n!)!)\sim (n+1)!/n! =n+1$

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей оканчивается (n!)!?
Сообщение04.03.2017, 01:45 


13/02/17

317
Varanasi
А почему после первого равно стоит сумма, а не второй факториал? Не врубаюсь я.

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей оканчивается (n!)!?
Сообщение04.03.2017, 01:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Я уже приводил свои нестрогие соображения: количество нулей равно показателю степени пятёрки в разложении $(n!)!$ на простые множители. Ясно, как получить на бумажке эту степень: Делить $n!$ на $5$, брать целую часть и снова делить на $5$ до упора. Сложить частные. Ясно, что скобки целых частей в возрастанием $n$ постепенно исчезают.
Наверное, можно и строго это изложить, но зачем? :-)
Вот: $N((5!)!)=[5!/5]+[5!/25]+[5!/125]+...=24+4+0+0...=28$
$N((6!)!)=[6!/5]+[6!/25]+[6!/125]+...=144+28+5+1+0...=178$

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей оканчивается (n!)!?
Сообщение04.03.2017, 01:57 


13/02/17

317
Varanasi
gris в сообщении #1196956 писал(а):
Наверное, можно и строго это изложить, но зачем? :-)


Наверное чтобы я понял откуда это следует.
Вот с этого момента мне уже ничего не ясно:
Цитата:
Ясно, как получить на бумажке эту степень: Делить $n!$ на $5$, брать целую часть и снова делить на $5$ до упора.


Мне казалось что до упора - пока остаток будет целым, нужно делить на 5 число $(n!)!$ , сколько раз поделили - столько и нулей.

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей оканчивается (n!)!?
Сообщение04.03.2017, 02:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Я там примерчики привёл. Удобно программируется. Для строгого вывода формулы у меня не хватит терпения и внимательности. Специалисты же в теории чисел наверняка знают какие-то более общие теоремы. В OEIS я видел нечто похожее, но со степенями двойки (то есть завершающие нули в двоичной записи), Там какие-то спецфункции приводятся. Увы мне :-(
Да, Вы правы. Надо делить $(n!)!$ до упора. Но это то же самое. Запрограммировать даже проще, но как из делений только на $5$ получить асимптотику? И никакой пакет вам все точные цифры даже для $n=10$ не выдаст. Их там слишком много.
Хотя я вот сейчас в альфе посмотрел $(20!)!$ и мне сказали количество хвостовых нулей :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group