2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Циркуляция ВП по Стоксу не совпадает с вычисленной вручную
Сообщение03.03.2017, 09:16 


13/02/17
62
Воображаю, как я вам надоел (с)
Это последняя задача, с которой у меня проблемы. Модератор сказал разбить вопрос на две части (первая часть тут).
Собственно, дан треугольник, заданный плоскостью -x+2y+2z-4=0. Найти циркуляцию векторного поля методом Стокса и
непосредственно. График:
Изображение

Собственно, начал решать. Так как у условии не сказано о направлении обхода, выбрал его положительным (против часовой стрелки). Сначала метод Стокса:
$C=\underset{L}{\oint}P(x.y.z)dx=\underset{\sigma}{\iint}(\operatorname{rot}\overline{F}\cdot \overline{n_{0}})$

$\operatorname{rot}\overline{F}=\left (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}  \right )\overline{i}+\left (\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}  \right )\overline{j}+\left (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}  \right )\overline{k}=\left (-\frac{\partial (x+z))}{\partial z}  \right )\overline{i}+(0-0)\overline{j}+\left (\frac{\partial (x+z)}{\partial x}\right )\overline{k}=-\overline{i}+0\overline{j}+\overline{k}$

Вектор: $\overline{n}=(-1,2,2)$

Единичный вектор: $\overline{n_{0}}=\frac{\overline{n}}{\left |\overline{n}  \right | }= \frac{-\overline{i}+0\overline{j}+\overline{k}}{\sqrt{9}}=-\frac{1}{3}i+\frac{2}{3}k$

Произведение ротора на единичный вектор: $\operatorname{rot}\overline{F}\cdot \overline{n_{0}}=-1(-\frac{1}{3})+1\cdot\frac{2}{3}=1$

Так как в данном случае $ C=\underset{ABC}{\iint}d(ABC)$, достаточно лишь найти площадь треугольника $ABC $- это и будет искомой циркуляцией. Нашёл векторы треугольника:

$\overline{AB}=(4,0,2)
\overline{AC}=(4,2,0)$

Нашёл векторное произведение:
$\overline{AB}\times \overline{AC}=\overline{C}=\begin{vmatrix}
\overline{i} & \overline{j} & \overline{k}\\ 
4 & 0 & 2\\ 
4 & 2 & 0
\end{vmatrix}=(-4,8,8)$

Длину полученного вектора:
$\left |\overline{C}  \right |=\sqrt{144}=12$

Площадь треугольника:
$S=\frac{1}{2}12=6$

Ну и циркуляцию:
$\frac{3}{2}6=9$
Таким образом, получается, что по Стоксу циркуляция равна 9 ед. Правильно?

А вот с непосредственным вычислением у меня проблемы. Каким бы способом не решал, упорно вылезает $-6$ (иногда $-4$).

Приведу два примера решений. Я поменял буквы у треугольника (чтобы не запутаться при вычислении циркуляции на каждом фрагменте чертежа):
Изображение
Поехали:
Способ 1.
$C=\underset{ABCA}{\oint }(x+z)dy=C_{AB}+C_{BC}+C_{CA}$

С $C_{AB}$ небольшая проблема, пока пропущу. Уравнение прямой: $\frac{x+4}{4}=\frac{z}{2},z=\frac{x+4}{2}$

$C_{BC}:x=0\Rightarrow \underset{BC}{\int }(z)dy$

Выражаю $z: -\frac{z-2}{2}=\frac{y}{2},z=-y-2$
Получаю интеграл: $-\int_{0}^{2}(y+2)dy=-6$

Для $C_{CA}:z=0\Rightarrow \underset{CA}{\int }(x)dy$
Выражаю $x: -\frac{y-2}{2}=\frac{x}{4},x=2y-4$
Интегрирую $\int_{0}^{2}(2y-4)dy=-4$

Собственно, проблема с $AB $в том, что $y=0$ и через него нельзя выразить ни $x$, ни $y$. Что я делаю не так?

Промучившить какое-то время с таким методом решения, я решил попробовать по-другому:
Способ 2.
$\underset{L}\int =\underset{AB}\int(x+z)dy+\underset{BC}\int(x+z)dy+\underset{CA}\int(x+z)dy$

На контуре $AB: z=0$
$\left\{\begin{matrix}
-4<x<0\\ 
\frac{1}{2}x+2<y<0
\end{matrix}\right.
z=\frac{1}{2}x+2

\int_{-4}^{0}(x+\frac{1}{2}x+2)dx=0$

На контуре $BC: x=0$
$z=-y+2
\int_{0}^{2}(-y+2)dy=2$

На контуре $CA: y=0$
$x=\frac{1}{2}z+2
\int_{-4}^{0}(z+\frac{1}{2}z+2)dz=12$

И всё равно получается ерунда.

Вопрос такой: есть ли ошибка в вычислении по методу Стокса и как правильно вычислить непосредственно? Пробовал решить ещё парой методов, тоже толком ничего не выходит.

Буду очень благодарен за подсказки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Циркуляция ВП по Стоксу не совпадает с вычисленной вручную
Сообщение03.03.2017, 11:34 


13/02/17
62
Перечитал теорию, прорешал заново - получил 6. Кажется, ошибка вот тут:
XpucToc в сообщении #1196698 писал(а):
$\frac{3}{2}6=9$

Непонятно, откуда появились $\frac{3}{2}$ (скорее всего, перепутал черновики и перетащил их из прошлой задачи). Интеграл по $ABВ$ равен $0$ (т. к. $y=0, dy=0$), по $BC=2$, по $CA=4$. В сумме получил $6$. Кто бы взглянул? :)

-- 03.03.2017, 12:37 --

Да, теперь я почти уверен, что на этот раз решил всё правильно. Решение - на лист A4 мелким почерком, смогу выложить часа через 2, если будет нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Циркуляция ВП по Стоксу не совпадает с вычисленной вручную
Сообщение03.03.2017, 13:21 


13/02/17
62
Собственно:
$\underset{L}\int =\underset{AB}\int(x+z)dy+\underset{BC}\int(x+z)dy+\underset{CA}\int(x+z)dy$
Начальные условия:

Координаты точек:
$A(-4,0,0)$
$B(0,0,2)$
$C(0,2,0)$

Уравнения прямых:
$AB: \frac{x+4}{4}=\frac{z}{2},y=0 \Rightarrow dy=0$
$x=2z-4$
$z= \frac{x+4}{2}$

$BC: \frac{y}{2}= \frac{-z-2}{2},x=0\Rightarrow dx=0$
$y=-(z-2)$
$z=-(y+2)$

$CA= \frac{-x}{4}=-\frac{y-2}{-2},z=0\Rightarrow dz=0$
$x=2(y-2)$
$y=\frac{x}{2}-2$

На $AB$:
$C= \underset{AB}{\int }(x+z)dy=0$

На $BC$:
$\underset{BC}{\int }(x+z)dy=\underset{BC}{\int }zdy=\int_{0}^{2}-(y+2)dy=2$

На $CA$:
$\underset{CA}{\int }(x+z)dy=\underset{CA}{\int }xdy=\int_{2}^{0}2(y-2)dy=4$

$C=2+4=6$

Верно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group