2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Нить
Сообщение01.03.2017, 13:48 


05/02/11
1001
Москва
Нить лежит на цилиндре радиуса R, вся в вертикальной плоскости. Ось цилиндра горизонтальна.
Верхний её конец, для простоты, находится на самом верху поверхности цилиндра.
Найти максимальную длину нити, при которой она может оставаться неподвижной.
Коэффициент трения $k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение02.03.2017, 05:51 
Аватара пользователя


29/01/17

228
схема такая?
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение02.03.2017, 15:25 


05/02/11
1001
Москва
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение04.03.2017, 10:41 
Заслуженный участник


03/01/09
1162
москва
Нить начнет двигаться, когда момент силы тяжести, действующей на нить, будет равен моменту силы трения. Отсюда получим: $L=2R\arctg k$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение04.03.2017, 15:05 
Аватара пользователя


09/10/15
1954
San Jose, USA
mihiv в сообщении #1197007 писал(а):
Нить начнет двигаться, когда момент силы тяжести, действующей на нить, будет равен моменту силы трения. Отсюда получим: $L=2R\arctg k$


Вы сосчитали моменты без учета натяжения нити. А оно есть и увеличивает реакцию опоры, что в свою очередь увеличивает силу трения. Такой парадокс. :D
И потом даже исходя из вашей формулы при достаточно большом $k$, например $k=\frac{1}{\sqrt{3}}$ у вас $L=\frac23\pi R$, что больше $\frac12\pi R$
И нить начнет свисать, что совсем меняет логику.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение04.03.2017, 16:08 
Заслуженный участник


03/01/09
1162
москва
fred1996,
Вы правы, мне почему-то показалось, что вклад силы натяжения более высокого порядка малости.
А при $k=\frac 1{\sqrt 3}$ формула все еще дает имеющий смысл результат: $L=\frac {\pi }3R$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение04.03.2017, 20:23 
Аватара пользователя


09/10/15
1954
San Jose, USA

(Оффтоп)

Сам всегда говорю ученикам, что самые частые ошибки это в два раза и $+$ с $-$. И все время сам их совершаю. в школьные годы был гораздо внимательнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение04.03.2017, 23:45 


05/02/11
1001
Москва
Мне кажется, сила натяжения должна удовлетворять определённому дифф. уравнению. Я его для себя написал схематично, но пока приводить не буду (потерялось куда-то).
В идейном плане fred1996 уже заметил, что силы трения и натяжения взаимосвязаны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение05.03.2017, 11:49 
Заслуженный участник


21/09/15
672
А какого-то изящного решения нет?
Я тоже написал уравнение и тоже потерял. В лоб оно решается, но красивого ответа не видно

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение05.03.2017, 15:38 
Аватара пользователя


09/10/15
1954
San Jose, USA
Сдается мне, что я эту задачу уже видел когда-то и тоже с красивым, но неправильным решением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение05.03.2017, 19:37 
Заслуженный участник


03/01/09
1162
москва
Тоже вот написал ДУ для силы натяжения. :-) Смущает то, что получилось уравнение первого порядка, а нужно удовлетворить двум граничным условиям, т.к. сила натяжения равна нулю на обоих концах нити.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение05.03.2017, 19:47 
Заслуженный участник


21/09/15
672
Из условия равенства нулю на нижнем конце как раз и определяется длина нити (если не свисает)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение05.03.2017, 20:19 
Заслуженный участник


03/01/09
1162
москва
Да, действительно, так и есть. Но тогда простой формулы для $L$ не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение06.03.2017, 22:47 


05/02/11
1001
Москва
Мне кажется, граничное условие только одно: $f=0$ только на нижнем конце. Возможно, ошибаюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение07.03.2017, 00:29 
Аватара пользователя


09/10/15
1954
San Jose, USA
Условия на натяжения два если нить не свисает. Это нулевое значение натяжения на нижнем и верхнем конце. Очевидно сначала натяжение возрастает, затем убывает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group