2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Нить
Сообщение14.03.2017, 17:27 


05/02/11
988
Москва
На самом деле для меня же это решение непонятно, даром что сам его написал.. Привычное самоощущение полуидитическое.
Я положил $a_0=0$ исключительно по своему произволу. А если присвоить его, например, $\rho gkR$? Всё остальное обнуляется(!)
С другой стороны, если заменить непрерывную нить на последовательность точечных одинаковых микромасс, то при максимуме возможного
натяжения (когда вот-вот поедет) такой произвол, по-моему, исчезает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение14.03.2017, 18:06 
Заслуженный участник


03/01/09
1153
москва
dovlato в сообщении #1198397 писал(а):
Пусть, для простоты, мы тянем нить по гладкой поверхности планеты. Всё происходит в плоскости, проходящей через центр планеты.
$$f'-kf=\rho gkR$$

dovlato, а как получено это уравнение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение15.03.2017, 16:59 


05/02/11
988
Москва
Пусть нить лежит, вытянутая вдоль какого-нибудь большого круга - например, по экватору или по меридиану.
Все её точки лежат в одной плоскости, проходящей через центр планеты (имеющей радиус $R$).
Рассматриваем силы, приложенные к концам малого кусочка. Допустим, к одному его концу приложена сила натяжения $f$, а к другому $f+df$.
Полагаем, что под действием этой силы нить ползёт вдоль себя, либо она на грани этого. Тогда пишем:$$df=k\rho gdl+kfd\alpha$$ Здесь $\rho$ - линейная плотность нити. Так как $dl=Rd\alpha$, то получим $$df=k(\rho gR+f)d\alpha,$$то есть$$f'-kf=k\rho gR$$ Вроде так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение15.03.2017, 21:09 
Заслуженный участник


03/01/09
1153
москва
dovlato в сообщении #1200323 писал(а):
Я положил $a_0=0$ исключительно по своему произволу.

Где же здесь произвол? Мы вынуждены выбрать $a_0=0$, чтобы выполнялось граничное условие: сила натяжения равна 0 на свободном конце нити.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение15.03.2017, 22:23 


05/02/11
988
Москва
Но я хотел, чтобы равенство $a_0=0$ следовало не из физических соображений, а чисто математически.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение15.03.2017, 23:53 
Аватара пользователя


09/10/15
1561
San Jose, USA
dovlato в сообщении #1200755 писал(а):
Но я хотел, чтобы равенство $a_0=0$ следовало не из физических соображений, а чисто математически.


Как это?
Здесь как-раз физика.
Имеется ввиду, что никто не держит нить за верхний конец.
Это то что называется постановка задачи.
Есть уравнения, есть граничные условия.
А математика - это решение такой задачи.
Чисто математически в физике условия не ставятся.
Математически они формулируются после трансляции описания физической задачи на язык математики.
Кстати, это, если хотите, очень важный философский момент. Объяснить роль физики и математики и их связь при решении задач.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение16.03.2017, 06:50 


23/01/07
3170
Новосибирск
dovlato в сообщении #1200755 писал(а):
Но я хотел, чтобы равенство $a_0=0$ следовало не из физических соображений, а чисто математически.

Как мне видится, это равенство справедливо для случая максимального угла (заданного в задаче).
Представим альпиниста микромассу, находящуюся в вверху цепочки. Если сила натяжения на нее со стороны других микромасс выше, чем сила трения покоя этой микромассы, то вся нить соскользнет, если - ниже, тогда нить можно еще нагружать, что будет противоречить максимальности найденного угла. Поэтому должно быть равенство сил или нуль суммы сил на свободном конце. Аналогично, можно рассмотреть равенство сил и для нижней микромассы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение16.03.2017, 12:18 
Заслуженный участник


03/01/09
1153
москва
Еще один необычный момент в этой задаче. Возьмем вместо нити твердое тело в виде дуги соответствующей окружности, например, сделаем дугу из металла. Уравнение для силы натяжения останется прежним. Необычность, мне кажется, в том, что для описания движения твердого тела под действием внешней силы необходимо находить внутреннюю силу натяжения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение16.03.2017, 12:56 
Аватара пользователя


09/10/15
1561
San Jose, USA
Не, ну твердое тело напрочь ликвидирует однозначность.
Вы не можете для твердого тела однозначно описать все внутренние напряжения и связанные с этим силы трения и нормальные силы.
Берете обычный штырь и сажаете на него шайбу. При каких то условиях она будет достаточно свободно вращаться, а при каких-то ее может и заклинить.
В связи вот этими вашими деформациями и твердыми телами вспомнилась такая задачка.
Пусть у нас есть абсолютно эластичная пластина длины $L$. Ее можно согнуть по идеальной дуге в полукольцо применив при этом силу $F$
Какую работу нуждно совершить, чтобы из полукольца согнуть эту пружину в кольцо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение16.03.2017, 21:24 


05/02/11
988
Москва
Для себя у меня вывод получается такой. Так как чисто физически материал нити обязательно дискретный ( размер дискрета - уж точно не меньше размеров атома), то для крайнего дискрета сила натяжения, понятно, почти нуль. Но других причин для утверждения нулевого натяжения на концах не вижу! Тогда как дифф. уравнение выводилось именно для абсолютно непрерывной нити.. То есть для ДУ действует другая модель, в которой допустимо ненулевое натяжение на концах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение17.03.2017, 06:26 


23/01/07
3170
Новосибирск
Нашел в Инете похожую задачу, в которой, на мой взгляд, можно $dF {\text{тр.}}$ и $dN$ расписать "на свой лад".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group