2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Нить
Сообщение07.03.2017, 13:21 
Заслуженный участник


03/01/09
1174
москва
Чтобы зря не пропало, напишу, что у меня получилось. Уравнение для силы натяжения:$$T'-kT=\rho gR(k\cos \alpha -\sin \alpha )$$$\rho -$линейная плотность нити, $\alpha -$угол между вертикалью и радиусом-вектором, проведенным из центра окружности в точку на линии.Уравнение решается в явном виде. Решение, равное 0 при $\alpha =0$(на верхнем конце нити), имеет вид:$$T(\alpha )=\dfrac {\rho gR}{1+k^2}(2k\sin \alpha +(1-k^2)(\cos \alpha -e^{k\alpha }))$$Длина нити равна:$L=R\alpha _0$, где $\alpha _0$ положительный корень уравнения:$$2k\sin \alpha +(1-k^2)(\cos \alpha -e^{k\alpha })=0\qquad (1)$$Уравнение (1) - это условие равенства 0 силы натяжения на нижнем конце нити. Решения уравнения (1) для некоторых значений коэффициента трения:$$\begin {cases}k= 0.1;  0.2;0.3;0.4;0.5;0.6;0.732\\\alpha _0 =0.200;0.400;0.601;0.805;1.01;1.24;\frac {\pi }2\\\bar \alpha _0=0.199;0.395;0.583;0.761;0.927;1.08;1.26\end {cases}$$

$\bar \alpha _0$- это угол, посчитанный без учета силы натяжения, по формуле $\bar \alpha _0=2\arctg k$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение07.03.2017, 21:23 


05/02/11
1012
Москва
ДУ у меня такое же. mihiv довёл его до подробного решения.
Но я так и не понял одного момента. Мне кажется, что равенство $T=0$ обязательно должно выполняться на обоих концах,
пусть даже кусочек нити был бы совсем коротенький.. Это условие выполнялось бы даже в отсутствие равновесия - попросту потому, что нить
никакая внешняя сила не натягивает. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение07.03.2017, 21:42 
Аватара пользователя


09/10/15
2227
San Jose, USA
dovlato в сообщении #1197965 писал(а):
ДУ у меня такое же. mihiv довёл его до подробного решения.
Но я так и не понял одного момента. Мне кажется, что равенство $T=0$ обязательно должно выполняться на обоих концах,
пусть даже кусочек нити был бы совсем коротенький.. Это условие выполнялось бы даже в отсутствие равновесия - попросту потому, что нить
никакая внешняя сила не натягивает. Так?


Ну и чему это противоречит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение07.03.2017, 22:16 


05/02/11
1012
Москва
Уравнение (1), то есть условие $T=0$, по тексту определяет длину нити. Я этого не понимаю.
Так как это условие вроде бы должно выполняться на концах для любой(!) длины нити.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение07.03.2017, 22:18 
Аватара пользователя


09/10/15
2227
San Jose, USA
Нет.
Это только при условии критического саморавновесия.
Другими словами при произвольной длине больше критической натяжение в верхней точке ненулевое.
Если же длина меньше критической, у нас трение превращается в статическое, для которого нет однозначного решения. Вы попались на стандартную удочку школьника. :)
Обычно выглядит это так.
Я объясняю школьникам как работает трение на наклонной плоскости. Расчитываю ускорение. А потом привожу формулу для критического угла.
А дальше вопрос, что будет, если угол меньше критического?
А ускорение становится отрицательным и тело едет вверх :D . Немая сцена!

Для примера неоднозначности трений и натяжений при статическом трении очень хороша следующая ситуация.
Пусть у нас есть треугольная наклонная плоскость с блоком в вершине и двумя массами по бокам, привязанными к нити, перекинутой через блок.
Есть трение.
И можно написать уравнение для ускорения системы в случае кинематического трения. Но Если это трение становится статическим, то точного решения доя натяжения нити и сил трения уже нет. Есть уравнения соотношений между ними.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение07.03.2017, 22:46 
Заслуженный участник


03/01/09
1174
москва
dovlato в сообщении #1197965 писал(а):
Это условие выполнялось бы даже в отсутствие равновесия - попросту потому, что нить
никакая внешняя сила не натягивает. Так?

Это так, но в отсутствие равновесия уравнение для силы натяжения было бы уже другим. А именно, справа добавилось бы слагаемое $-\rho R^2\varepsilon$, где $\varepsilon $- угловое ускорение нити. Тут я не согласен с мнением fred1996, что натяжение в верхней точке не равно 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение07.03.2017, 22:56 
Аватара пользователя


09/10/15
2227
San Jose, USA
mihiv в сообщении #1197986 писал(а):
dovlato в сообщении #1197965 писал(а):
Это условие выполнялось бы даже в отсутствие равновесия - попросту потому, что нить
никакая внешняя сила не натягивает. Так?

Это так, но в отсутствие равновесия уравнение для силы натяжения было бы уже другим. А именно, справа добавилось бы слагаемое $-\rho R^2\varepsilon$, где $\varepsilon $- угловое ускорение нити. Тут я не согласен с мнением fred1996, что натяжение в верхней точке не равно 0.


Э, тут мы говорим о разных задачах.
Я говорю о равновесии, вы говорите о свободном скольжении.
И потом при длине меньше критической натяжения на концах тоже нули, однако равновесие теперь статическое, а значит однозначного дифура не получится.
Получатся только локальные соотношения между трением и натяжением, где трение уже не связано конкретно с реакцией опоры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение07.03.2017, 23:01 
Заслуженный участник


03/01/09
1174
москва
Ну да, я имел в виду скольжение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение07.03.2017, 23:42 


05/02/11
1012
Москва
Характер движения (или пребывания в покое) нити ни малейшим образом не влияют на тот самоочевидный факт,
что натяжение на ОБОИХ концах нити равно нулю. Иначе ускорения концов были бы бесконечными.
Я не понимаю, каковы условия справедливости исходного ДУ. Ясно, например, что если нижний конец нити находится на пологом
склоне с углом наклона, меньшем критического, то вся нить может быть вообще не натянутой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение08.03.2017, 00:29 
Аватара пользователя


09/10/15
2227
San Jose, USA
Местами натянутой, местами ненатянутой. Локально имеем:
$\Delta T = \Delta F + \Delta  mg\sin(\varphi)$
Но трение статическое, поэтому $\Delta F < k\Delta N$.
То есть в неравенстве сидит вся неопределенность.
При критической же длине нити, когда она вот-вот поедет, все эти локальные неравенства превращаются в равенства и мы имеем строгий дифур.

Здесь $T, F, N$ натяжеие нити и распределение сил трения и реакции опоры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение08.03.2017, 10:38 


05/02/11
1012
Москва
Вроде бы понял. ДУ действует по всей длине нити именно для данного предельного случая,
когда нить "вот-вот поедет".

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение09.03.2017, 07:02 


23/01/07
3170
Новосибирск
dovlato в сообщении #1198009 писал(а):
самоочевидный факт,
что натяжение на ОБОИХ концах нити равно нулю.

Представим одинаковых альпинистов, которые выстроились цепочкой по цилиндрическому склону и страхуют друг друга. Если натяжение веревки у самого нижнего альпиниста равно нулю, то эту веревку можно обрезать. Боюсь, что он Вам этого не простит. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение09.03.2017, 07:17 
Аватара пользователя


09/10/15
2227
San Jose, USA
Батороев в сообщении #1198327 писал(а):
dovlato в сообщении #1198009 писал(а):
самоочевидный факт,
что натяжение на ОБОИХ концах нити равно нулю.

Представим одинаковых альпинистов, которые выстроились цепочкой по цилиндрическому склону и страхуют друг друга. Если натяжение веревки у самого нижнего альпиниста равно нулю, то эту веревку можно обрезать. Боюсь, что он Вам этого не простит. :-)

Нет там никакого альпиниста. Веревка не свисает, а полностью лежит на блоке.
А вот если к-т трения больше некоего критического, тогда да, веревка свисает и натяжение ненулевое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение09.03.2017, 07:34 


23/01/07
3170
Новосибирск
fred1996 в сообщении #1198330 писал(а):
Веревка не свисает, а полностью лежит на блоке.

Я не говорил про свисающих альпинистов. В моем примере страхующие альпинисты - это те, кто удерживает последнего от его соскальзывания.

-- 09 мар 2017 11:39 --

"Альпинисты" в моем примере - это элементы веревки, разбитые на части. При бесконечно малой величине "альпиниста" (соответственно бесконечно большом их количестве) их воздействие можно проинтегрировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нить
Сообщение09.03.2017, 12:47 


05/02/11
1012
Москва
Пусть, для простоты, мы тянем нить по гладкой поверхности планеты. Всё происходит в плоскости, проходящей через центр планеты.
$$f'-kf=\rho gkR$$
Ищем решение в виде $f=a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2+a_3\alpha^3+...$
После подстановки в уравнение получим систему $$a_0=0$$ $$a_1=\rho gkR$$ $$2a_2-ka_1=0$$ $$3a_3-ka_2=0$$
Как видим, решение получается без $a_0\ne 0.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group