2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Помогите разобраться с точностью
Сообщение05.03.2017, 22:03 


20/08/14
2395
Россия, Москва
Ну, тут показан результат всех трёх режимов округления (вниз, вверх, к ближайшему) для четырёх вариантов двух отбрасываемых битов. Т.е. это таблица описания правил округления во всех трёх режимах. "-" в таблице означает усечение числа до ближайшего меньшего, "+" - увеличение числа до ближайшего большего, "-/+" - или первое или второе в зависимости от соглашения (обычно в зависимости от следующего слева бита - он должен стать нулевым).

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться с точностью
Сообщение05.03.2017, 22:20 


14/06/15
103
Dmitriy40 в сообщении #1197497 писал(а):
Ну, тут показан результат всех трёх режимов округления (вниз, вверх, к ближайшему) для четырёх вариантов двух отбрасываемых битов. Т.е. это таблица описания правил округления во всех трёх режимах. "-" в таблице означает усечение числа до ближайшего меньшего, "+" - увеличение числа до ближайшего большего, "-/+" - или первое или второе в зависимости от соглашения (обычно в зависимости от следующего слева бита - он должен стать нулевым).


Объясните мне плиз это все поподробней - особенно интересует round half to even, я не понимаю откуда комп берет значения sticky bits и в каком количестве - ведь чтобы округлять он должен знать эти sticky bits (причем в каком то количестве). Я также приложил фото страницы на которой говорится о sticky bits.

Вот она:

Изображение

Изображение

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться с точностью
Сообщение05.03.2017, 22:38 


20/08/14
2395
Россия, Москва
Давайте для примера рассмотрим операцию умножения двух double чисел. В каждом из них есть 53 бита мантиссы, после перемножения можно получить 106 битов мантиссы, из них надо оставить снова лишь 53 бита, а остальные справа отбросить или округлить. Процессор конечно не будет считать все эти 106 битов, но он подсчитает 53+2 бита и в зависимости от режима округления и дополнительных двух битов выполнит округление произведения до 53 битов мантиссы, которые и запишет в результат умножения.
При сложении чисел часто тоже есть дополнительные биты - если складываются числа с экспонентами отличающимися на 2 и более, тогда одно из чисел сдвигается вправо и заполняет эти два дополнительных справа бита для последующего округления результата. Или результат сложения мантисс превышает 2 и потому для нормализации подлежит сдвигу вправо на бит - и выдвинутый бит и будет использован для округления. Если сдвигать ничего не надо (в том числе и результат сложения), то и округлять не надо т.к. количество битов мантиссы и не изменилось.

Округление "round half to even" в случае если отбрасываемые биты равны в точности половине младшего остающегося бита выполняет округление не к ближайшему числу (как положено по правилам математики), а к ближайшему чётному числу. Например при округлении до целых число 3,5 будет округлено до 4, но число 2,5 будет округлено до 2 вместо 3. В остальных случаях, если отбрасывается не ровно половина младшего остающегося бита, производится обычное округление к ближайшему представимому числу. Например 2,6 округлится до 3, а 2,4 к 2.

Текст на картинках объясняет всё это же, только более подробно и формально.

-- 05.03.2017, 22:40 --

PS. Может быть, если такие трудности с пониманием, поискать хорошую книжку на русском про представление чисел в двоичной системе счисления? Их полно должно быть, даже в сети информации навалом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться с точностью
Сообщение05.03.2017, 23:30 


14/06/15
103
Dmitriy40 в сообщении #1197513 писал(а):
Округление "round half to even" в случае если отбрасываемые биты равны в точности половине младшего остающегося бита выполняет округление не к ближайшему числу (как положено по правилам математики), а к ближайшему чётному числу. Например при округлении до целых число 3,5 будет округлено до 4, но число 2,5 будет округлено до 2 вместо 3. В остальных случаях, если отбрасывается не ровно половина младшего остающегося бита, производится обычное округление к ближайшему представимому числу. Например 2,6 округлится до 3, а 2,4 к 2.


Имеется ввиду десятичное число?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться с точностью
Сообщение05.03.2017, 23:49 


20/08/14
2395
Россия, Москва
sashatgu в сообщении #1197524 писал(а):
Имеется ввиду десятичное число?
Нет, конечно двоичное. Но для примера удобнее обычные десятичные числа. Впрочем, если настаиваете и не можете сами перенести пример на двоичную систему, вот:
Число $1{,}00011\_10_2$ будет округлено до $1{,}00100\_00_2$, но число $1{,}00010\_10_2$ будет округлено до $1{,}00010\_00_2$ вместо $1{,}00011\_00_2$. Но число $1{,}00010\_11_2$ округлится до $1{,}00011\_00_2$, а $1{,}00010\_01_2$ к $1{,}00010\_00_2$. Округление везде до 5-ти знаков после запятой методом "round half to even", цифры после знака "_" будут отброшены и в результат не попадут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться с точностью
Сообщение06.03.2017, 00:38 


14/06/15
103
Dmitriy40 в сообщении #1197528 писал(а):
sashatgu в сообщении #1197524 писал(а):
Имеется ввиду десятичное число?
Нет, конечно двоичное. Но для примера удобнее обычные десятичные числа. Впрочем, если настаиваете и не можете сами перенести пример на двоичную систему, вот:
Число $1{,}00011\_10_2$ будет округлено до $1{,}00100\_00_2$, но число $1{,}00010\_10_2$ будет округлено до $1{,}00010\_00_2$ вместо $1{,}00011\_00_2$. Но число $1{,}00010\_11_2$ округлится до $1{,}00011\_00_2$, а $1{,}00010\_01_2$ к $1{,}00010\_00_2$. Округление везде до 5-ти знаков после запятой методом "round half to even", цифры после знака "_" будут отброшены и в результат не попадут.


Но ведь округление происходит не только при сложении-умножении, но и как я понимаю, при конвертации десятичного в двоичное (а эта конвертация происходит всегда так как комп работает тока с двоичными, я прав?) и наоборот двоичного в десятичное (это тоже происходит всегда - так как пользователю нужно видеть конечный результат в десятичном после всех сложений-умножений в двоичном, я прав?).

Так вот все таки объясните мне плиз хотя бы алгоритмически каким образом десятичное 7.5708 превращается в

0 10000000001 1110010010000111111111001011100100100011101000101010

То есть каким образом десятичное 7.5708 превращается в некое двоичное, а затем это двоичное после округления превращается в

0 10000000001 1110010010000111111111001011100100100011101000101010

Или во что там превращается десятичное, чтоб компьютер мог оперировать этим двоичным.

Ну или приведите любой другой пример на ваше усмотрение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться с точностью
Сообщение06.03.2017, 01:35 


20/08/14
2395
Россия, Москва
Введите тут своё желаемое число и проследите как происходит перевод в двоичную форму: http://floatingpoint.ru/online/dec2double.php
Или вот пример с числом $1{,}33_{10}$ с 5-ю знаками после запятой: мантисса будет равна $1{,}01010\_1000111101011100_2$, надо округлить по месту знака "_", смотрим справа от него, там биты $10_2$, по методу "round half to even" надо округлить биты слева от знака "_" до ближайшего чётного числа, т.е. до $1{,}01010_2$.
Как из $1{,}33_{10}$ получить $1{,}010101000111101011100_2$ - было сказано даже в этой теме выше:
slavav в сообщении #1196342 писал(а):
Найдите набольшую степень двойки, которая не превосходит ваше число. Запишите её. Вычтите её из числа. Продолжайте пока число не станет нулём или пока у вас будет хватать терпения. Те числа что вы выписали - биты двоичного представления числа.
Разумеется можно было остановиться как только получили два лишних знака.

Как к мантиссе добавить правильную экспоненту - написано или по ссылке выше, или вообще везде.

-- 06.03.2017, 01:47 --

Вообще я никак не пойму с чем у Вас затык: с округлением в двоичных числах; с переводом из десятичной системы в двоичную; с тем как это делает конкретно Java; с форматом чисел double; с правилами проведения операций с вещественными числами в процессоре; сколько надо вычислять "лишних" битов для получения исходной точности для формата doubele; или с чем-то ещё менее очевидным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться с точностью
Сообщение06.03.2017, 15:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62681
sashatgu в сообщении #1197537 писал(а):
Так вот все таки объясните мне плиз хотя бы алгоритмически каким образом десятичное 7.5708 превращается в

0 10000000001 1110010010000111111111001011100100100011101000101010

То есть каким образом десятичное 7.5708 превращается в некое двоичное, а затем это двоичное после округления превращается в

0 10000000001 1110010010000111111111001011100100100011101000101010

Или во что там превращается десятичное, чтоб компьютер мог оперировать этим двоичным.

Ну или приведите любой другой пример на ваше усмотрение.

Мы в своё время с такими вещами сами с увлечением разбирались по справочникам.

Возьмём десятичное 7,5708.

Целая часть $7_{10}=111_2.$

    Как это получить? Делим 7 на 2: $7\mathbin{\mathrm{div}}2=3,\quad 7\bmod 2=1.$ Полученный остаток 1 записываем как последнюю цифру в результате.

    Повторяем:
    $3\mathbin{\mathrm{div}}2=1,\quad 3\bmod 2=1.$
    $1\mathbin{\mathrm{div}}2=0,\quad 1\bmod 2=1.$
    Итого, собирая все цифры вместе (повторяю, сзади наперёд, справа налево), получаем 111.

Дробная часть. 0,5708=?

    Поступаем аналогично, но в другую сторону. Умножаем 0,5708 на 2 много раз, и записываем в цифры результата - то, что вылезает в целую часть.
    $0{,}5708\cdot 2=1{,}1416$
    $0{,}1416\cdot 2=0{,}2832$
    $0{,}2832\cdot 2=0{,}5664$
    $0{,}5664\cdot 2=1{,}1328$
    $0{,}1328\cdot 2=0{,}2656$
    ну и так далее. Целиком выписывать не буду. Для примера мне хватит.
    Собирая все цифры вместе (вот тут - слева направо), получаем $0{,}10010\ldots_2.$

Важно!

    Поскольку в двоичной системе основание 2, а в десятичной - основание $10=2\cdot 5,$ то процесс может стать бесконечным. Чаще всего, и будет. Но он пойдёт по кругу - получится бесконечная периодическая двоичная дробь. Это с математической точки зрения, а на практике достаточно получить сколько-то двоичных цифр, а остальные всё равно компьютер проигнорирует.

Дальше.

    Мы получили пока, что наше число $7{,}5708_{10}=111{,}10010\ldots_2.$ Теперь его надо сделать из числа с фиксированной запятой (fixed point) числом с плавающей запятой (floating point), и нормализовать его. Нормализация - это сдвиг запятой до тех пор, пока целая часть не станет какой-то, например, одной цифрой:
      $111{,}10010\ldots\xrightarrow{\text{на 2 цифры}} 1{,}1110010\ldots$
    Количество сдвинутых цифр становится порядком числа:
      $111{,}10010\ldots=1{,}1110010\ldots\cdot 2^2$
    Чтобы завершить формирование мантиссы, мы заметим, что у нас число двоичное, и значит, первая ненулевая цифра всегда 1, а значит, её можно не хранить:
      $1{,}1110010\ldots\to [1]{,}1110010\ldots$
    Вот мы и получили мантиссу 1110010...

Остался порядок. Это $2_{10}=10_2.$

    Нам надо его сдвинуть, то есть, в случае double precision (binary64) - прибавить $1023_{10}=111\,111\,111_2.$ Поскольку 1023=1024-1, то легко получаем
      $111\,111\,111+10=1\,000\,000\,001.$
    Это и пишем в порядок.

И наконец, знак. Наше число положительное, это обозначается битом 0.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Toucan, maxal, Karan, PAV, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group