2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача на полноту системы функций
Сообщение23.01.2008, 20:49 
Аватара пользователя


13/01/08
22
Москва
Задача.
Выяснить полноту системы функций
$$
f = !x_1 \lor x_2 \lor x_3 , \quad w = !x_1x_2!x_3 \lor !x_2x_3 \lor x_1x_3
$$
Если система не полна, то дополнить её ф-цией $g$ до полной. (Запрещается дополнять системы константами и базовыми функциями, а также ф-цией, образующей полную систему с одной из ф-ций f или w)

Насколько мне известно то для того, чтобы доказать полноту системы функций, нужно через них выразить отрицание и конъюнкцию (дизъюнкцию). Сам я дошел только до этого:
$$
f(x,x,x) = 1, \quad f(1,x_2,x_3) = x_2 \lor x_3
$$
Для полного счастья осталось только получить отрицание. Понятно, что нужно заюзать w. Вот что я получил из w:
$$
w(x_1, x_2, x_3) = (!x_1x_2)!x_3 \lor !(!x_1x_2)x_3
$$
На этом стопор. Может кто поможет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.01.2008, 21:19 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Ну конечно отрицание не выражается.

Заметьте, что для любой функции $u(x_1, \ldots, x_k)$, которую можно выразить через $f$ и $w$, справедливо $u(1, \ldots, 1) = 1$. Действительно, $f$ и $w$ этим свойством обладают. Ну а если какие-то функции $u_1, u_2, u_3$ обладают этим свойством, то функции $f(u_1,u_2,u_3)$ и $w(u_1,u_2,u_3)$ тоже обладают им. Отрицание же данным свойством не обладает.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.01.2008, 21:54 
Аватара пользователя


13/01/08
22
Москва
Тогда нужно вводить новую функцию, которая бы дополнила эту систему до полной. У меня была идея в качестве оной взять $g(x_1,x_2)=!x_1x_2$, но она вместе с f уже образует полную систему, т.е. w остаётся не при чём. По заданию запрещается дополнять ф-цией, образующей с f или w полную подсистему, кроме случаев, когда иное невозможно. Вот эта приписка "иное невозможно" меня смущает: что же я сначала должен показать, что иное невозможно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.01.2008, 21:56 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
mastedm писал(а):
Вот эта приписка "иное невозможно" меня смущает: что же я сначала должен показать, что иное невозможно?


О какой приписке идёт речь? Я в Вашем первом сообщении этого сочетания слов нигде не заметил.

А, всё, заметил. Имелась в виду фраза из второго сообщения "кроме случаев, когда иное невозможно".

А Вы таблички истинности (aka таблицы значений) для функций $f$ и $w$ порисовать не пробовали? Иногда при взгляде на них многое становится понятно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.01.2008, 22:35 
Аватара пользователя


13/01/08
22
Москва
Таблички перед глазами. Собственно через них и функции задавались:
Код:
          f  w
0 0 0  1 0
0 0 1  1 1
0 1 0  1 1
0 1 1  1 0
1 0 0  0 0
1 0 1  1 1
1 1 0  1 0
1 1 1  1 1

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.01.2008, 22:35 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Н-да... И после некоторого среднепродолжительного размышления становится ясно, что "иное действительно невозможно"!!! :D

Если мы дополняем систему $\{ f, w \}$ какой-то функцией $g(x_1,\ldots, x_k)$, то должно выполняться равенство $g(1,\ldots,1)=0$ (иначе система $\{ f,w,g \}$ не будет полна по тем же соображениям, что и ранее). Теперь берём систему $\{ f,g \}$. Единицу мы при помощи $f$ выражать умеем, значит, при помощи $f$ и $g$ можем выразить ноль. Однако $f(x,0,0) = !x$ и $f(1,x,y) = x \vee y$. То есть при помощи $f$ и $g$ мы можем выразить как дизъюнкцию, так и отрицание. Вывод: система $\{ f,g \}$ полна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group