2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение28.02.2017, 10:02 


09/10/15
1346
San Jose, USA
Изображение
Пусть у нас есть проводящая однородная сфера радиусам $R$, через которую протекает ток $I$ как показано на рисунке.
То есть втекает через очень маленькую круговую площадку на северном северный полюсе, а вытекает через такую же площадку на экваторе.
Надо вычислить плотность поверхностного тока $\overrightarrow J(\varphi,\theta)$ как функцию в сферических координатах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение28.02.2017, 18:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63641
Думаю, надо разложить на две задачи:
1) Втекает на северном полюсе, вытекает равномерно по всей поверхности.
2) Втекает равномерно по всей поверхности, вытекает на экваторе.

-- 28.02.2017 18:38:47 --

Для 1-й задачи: через параллель $\theta$ протекает ток, равный $S_\text{под \(\theta\)}/S_\text{всей сферы}.$
Как-то даже ни одного интеграла взять не надо...

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение28.02.2017, 20:59 


09/10/15
1346
San Jose, USA
Инетерсная идея.

Я тоже разбил задачу на две, правда другие.
И тоже без интегралов.
Задачку подсмотрел в Кванте.
Но там предложен частный случай.
А мне захотелось ее в общем виде решить.
Точки я задал просто для определенности, как в Кванте.
На самом деле можно взять две любые точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение28.02.2017, 21:15 
Заслуженный участник


21/09/15
648
Munin в сообщении #1196068 писал(а):
1) Втекает на северном полюсе, вытекает равномерно по всей поверхности.

Очень красиво, я не додумался
fred1996 в сообщении #1196097 писал(а):
Я тоже разбил задачу на две, правда другие.

А вы как разбили?
Или подождем пока с вашей версией?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение28.02.2017, 21:29 


09/10/15
1346
San Jose, USA
Давайте подождем.
Моя версия более стандартная и возможно на "олимпиадность" не тянет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение28.02.2017, 22:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63641
Не знаю, какое ещё разбиение позволяет посчитать произвольные две точки. Разве что, втекание равномерно по одному меридиану (полный круг). Но кажется, это непросто посчитать.

Можно "втекать" по линии симметрии. Но как это сделать простым расчётом - не знаю.

-- 28.02.2017 22:24:56 --

AnatolyBa в сообщении #1196099 писал(а):
Очень красиво, я не додумался

Мелкое достижение, но приятно слышать такие отзывы! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение28.02.2017, 22:35 


09/10/15
1346
San Jose, USA
Munin в сообщении #1196122 писал(а):
Не знаю, какое ещё разбиение позволяет посчитать произвольные две точки. Разве что, втекание равномерно по одному меридиану (полный круг). Но кажется, это непросто посчитать.
Можно "втекать" по линии симметрии. Но как это сделать простым расчётом - не знаю.


Втекание и вытекание, это ваша конструктивная идея.
Я ее совсем не эксплуатирую в моем решении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение01.03.2017, 03:23 


09/10/15
1346
San Jose, USA
Я, конечно, могу дать подсказку.
Но тогда всем станет стыдно. :oops:
А мне будет неудобно. :shock:

А может наоборот... :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение01.03.2017, 14:10 


05/02/11
971
Москва
У меня идея ровно такая же - "растекание", как описал Munin. Но дальше у меня не хватило ни ума ни силы воли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение01.03.2017, 14:13 


09/10/15
1346
San Jose, USA

(подсказка для слабовольных)

А что, у нас конформные отображения только математики помнят?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение01.03.2017, 14:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63641
Я сдаюсь. (Но стыдиться не собираюсь, потому что свой вариант предложил, мне кажется, рабочий.)

-- 01.03.2017 14:18:54 --

fred1996 в сообщении #1196218 писал(а):
А что, у нас конформные отображения только математики помнят?

А, вот с этой математикой я не дружу, и поэтому предложить не мог. Зато мой метод работает на $n$-мерной сфере :-) И даже на платоновых телах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение01.03.2017, 14:26 


09/10/15
1346
San Jose, USA
Munin в сообщении #1196220 писал(а):
Я сдаюсь. (Но стыдиться не собираюсь, потому что свой вариант предложил, мне кажется, рабочий.)


Не, ну ваш то вариант вообще классный.
Я вот все голову ломаю, как-бы его еще куда присобачить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение01.03.2017, 14:43 
Заслуженный участник


21/09/15
648
Конформные отображения?
А как вы координаты на сфере задаете, чтобы получился красивый лапласиан?
А если лапласиан некрасивый, то нужны какие-то модифицированные отображения, или как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение01.03.2017, 14:55 


09/10/15
1346
San Jose, USA
AnatolyBa в сообщении #1196230 писал(а):
Конформные отображения?
А как вы координаты на сфере задаете, чтобы получился красивый лапласиан?
А если лапласиан некрасивый, то нужны какие-то модифицированные отображения, или как?

Изображение

Координаты берем обычные сферические.
Изначально точки располагаем в северном $O'$ и южном полюсе $O$ и строим прямую стереографическую проекцию. Все линии тока превращаются в прямые, пересекающиеся в одной точке, а эквипотенциальные кривые, это соответственно концентрические окружности.
Затем на плоскости делаем сдвиг так чтобы точка $O$ уехала куда надо в $E$. В данном конкретном случае на два радиуса вправо.
Ну и делаем обратную стереографическую проекцию на шар. Чтобы $E$ спроецировалась в нужную точку $A$. Линии тока опять переходят в окружности на сфере, а эквипотенциальные кривые в перпендикулярные им окружности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение01.03.2017, 16:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63641
Да, настолько просто - это я мог бы и догадаться. Увы, у меня интуиция на это дело не развита.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 83 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: profrotter, Jnrty, Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group