2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение08.03.2017, 01:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2819
ФТИ им. Иоффе СПб
fred1996 в сообщении #1198035 писал(а):
Вы решаете двумерную задачу в предположении, что на плоскости у вас равномерная проводимость как на сфере.
amon в сообщении #1196844 писал(а):
$\sigma E=j\;\Rightarrow \sigma \operatorname{div} E=\operatorname{div} j\;\Rightarrow \Delta \Phi=J\delta(\theta-\theta_0)\delta(\varphi-\varphi_0)$
(Исправлена опечатка, была лишняя $\delta$-функция)

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение08.03.2017, 01:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
fred1996 в сообщении #1198035 писал(а):
Вы решаете двумерную задачу в предположении, что на плоскости у вас равномерная проводимость как на сфере. Но это не так.

Это так, потому что, повторяю, уравнение Лапласа переходит в уравнение Лапласа.

Если бы это было не так, там вылезал бы переменный коэффициент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение08.03.2017, 02:09 
Аватара пользователя


09/10/15
2227
San Jose, USA
amon в сообщении #1198036 писал(а):
fred1996 в сообщении #1198035 писал(а):
Вы решаете двумерную задачу в предположении, что на плоскости у вас равномерная проводимость как на сфере.
amon в сообщении #1196844 писал(а):
$\sigma E=j\;\Rightarrow \sigma \operatorname{div} E=\operatorname{div} j\;\Rightarrow \Delta \Phi=J\delta(\theta-\theta_0)\delta(\varphi-\varphi_0)$
(Исправлена опечатка, была лишняя $\delta$-функция)


Ага, теперь наконец понял что вы имеете ввиду.
Ну что ж, вам повезло, что ваши эквипотенциальные кривые тоже круги. :D
Тогда это уже 3-е решение.
Сдается мне, что все они совпадают.

-- 07.03.2017, 15:21 --

Munin в сообщении #1198037 писал(а):
fred1996 в сообщении #1198035 писал(а):
Вы решаете двумерную задачу в предположении, что на плоскости у вас равномерная проводимость как на сфере. Но это не так.

Это так, потому что, повторяю, уравнение Лапласа переходит в уравнение Лапласа.

Если бы это было не так, там вылезал бы переменный коэффициент.


А вот это приятная неожиданность (для меня).
Как-то с самого начала решил, что это не так. Действительно, и геометрически масштабируемость приводит к постоянной проводимости. Что достаточно очевидно. Если локальные размеры при проецировании увеличились в $n$ раз, то плотность тока уменьшится в $n$ раз, но в $n$ раз увеличится расстояние между эквипотенциальными кривыми и, соответственно, $\sigma$ останется той же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение08.03.2017, 06:52 
Аватара пользователя


09/10/15
2227
San Jose, USA
Amon
Ларчик просто открывается.
Ваше решение переходит в мое обычной инверсией.
Надо один из ваших кружочков поместить в центр инверсии. Тогда внешность двух ваших кружочков отобразится на мое большое кольцо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение08.03.2017, 15:29 
Заслуженный участник


21/09/15
682
fred1996 в сообщении #1198039 писал(а):
А вот это приятная неожиданность (для меня).

Вот это высказывание меня удивляет. Ведь с самого начала ваше решение основывалось именно на этом факте - сохранении Лапласа. Я сомневался, не верил, просил доказать, и вы мне в конце концов доказали. Кстати следующее рассуждение нравится мне даже больше формального доказательства
fred1996 в сообщении #1198039 писал(а):
Действительно, и геометрически масштабируемость приводит к постоянной проводимости. Что достаточно очевидно. Если локальные размеры при проецировании увеличились в $n$ раз, то плотность тока уменьшится в $n$ раз, но в $n$ раз увеличится расстояние между эквипотенциальными кривыми и, соответственно, $\sigma$ останется той же

Я тоже об этом подумал, когда освежил в сознании точное определение конформного отображения (у меня был некоторый затык)
wrest в сообщении #1198018 писал(а):
А углы откуда отсчитываются?

Направление осей обычное, вертикальная ось $z$, от нее отсчитывается $\theta$.
Чтобы была ясность - потенциал имеет вид $$u=A \ln(B((2 \ctg(\theta/2)\sin \varphi)^2+(2\ctg(\theta/2)\cos \varphi -2)^2))$$
токи $j_\varphi=\dfrac{1}{\sin \theta}\dfrac{\partial u}{\partial \varphi}$ и $j_\theta=\dfrac{\partial u}{\partial \theta}$ Параметр $B$ неважен, параметр $A$ определяется из поведения тока вблизи $\theta=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение08.03.2017, 17:47 
Аватара пользователя


09/10/15
2227
San Jose, USA
AnatolyBa в сообщении #1198118 писал(а):
fred1996 в сообщении #1198039 писал(а):
А вот это приятная неожиданность (для меня).

Цитата:
Вот это высказывание меня удивляет.

У каждого, как говорится, свои глюки.
Все что я помнил с детства, это только конкретную фразу: "уравнение Лапласа инвариантно относительно конформных преобразований" . Ни одной конкретной задачи на эту тему не помню. Помню еще была замечательная функция $z+\frac1z$
Ну и потом связь Электростатики с токами для меня не совсем прозрачна.
Я в этой задаче думал скорее геометрически, нежели алгебраически, что меня как бывшего матфизика наверное характеризует не с лучшей стороны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение09.03.2017, 10:37 


05/09/16
2208
AnatolyBa в сообщении #1198118 писал(а):
Направление осей обычное, вертикальная ось $z$, от нее отсчитывается $\theta$.
Чтобы была ясность - потенциал имеет вид $$u=A \ln(B((2 \ctg(\theta/2)\sin \varphi)^2+(2\ctg(\theta/2)\cos \varphi -2)^2))$$

Поскольку тут не видно зависимости от расположения точек втекания и вытекания тока, я правильно понимаю, что ток втекает и вытекает через точки с координатами ($\theta=0; \varphi$ неопределено$)$, и ($\theta=\pi/2; \varphi=0$)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение09.03.2017, 10:48 
Аватара пользователя


09/10/15
2227
San Jose, USA
Да, это решение для частного случая с точками в северном полюсе и на экваторе.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 83 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group