2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2825
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #1196687 писал(а):
А оно при сужении на поверхность даёт уравнение Лапласа на этой поверхности?
Согласен, что это место следует пояснять. Там тоже можно рассудюшкой, но что-то они популярностью не пользуются.

У меня другая придирка. В исходной задаче один из источников переносится в бесконечность, что не есть хорошо. (Это следует из опущенной рассудюшки о переходе к двумерии, а также из формулы преобразования заряда при инверсии). Поэтому хочется что бы ни один источник не совпадал с северным полюсом сферы. IMHO, сферу надо сначала повернуть, потом сосчитать поле двух точечных зарядов и потом, если хочется, развернуть обратно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 15:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
Хороший вариант. Причём, поле двух точечных зарядов на плоскости можно подвергать гомотетии. Или сферу другого радиуса взять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 17:08 
Аватара пользователя


09/10/15
2253
San Jose, USA
amon в сообщении #1196741 писал(а):
Munin в сообщении #1196687 писал(а):
А оно при сужении на поверхность даёт уравнение Лапласа на этой поверхности?


У меня другая придирка. В исходной задаче один из источников переносится в бесконечность, что не есть хорошо. (Это следует из опущенной рассудюшки о переходе к двумерии, а также из формулы преобразования заряда при инверсии). Поэтому хочется что бы ни один источник не совпадал с северным полюсом сферы. IMHO, сферу надо сначала повернуть, потом сосчитать поле двух точечных зарядов и потом, если хочется, развернуть обратно.


Здесь как-раз все просто.
Можно ведь рассмотреть задачу Дирихле для небольшого контакта.
То есть потенциал задан на небольшой окружности. Мы выкидываем из сферы оба полюса, чтобы не иметь дело с бесконечными потенциалами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 18:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2825
ФТИ им. Иоффе СПб
fred1996 в сообщении #1196778 писал(а):
То есть потенциал задан на небольшой окружности.
Боюсь, не прокатит. При инверсии эта окружность перейдет в другую окружность, и потенциал на ней возрастет, так что выкинуть ее не получится

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 18:36 
Аватара пользователя


09/10/15
2253
San Jose, USA
amon в сообщении #1196789 писал(а):
fred1996 в сообщении #1196778 писал(а):
То есть потенциал задан на небольшой окружности.
Боюсь, не прокатит. При инверсии эта окружность перейдет в другую окружность, и потенциал на ней возрастет, так что выкинуть ее не получится


Потенциалы проецируются один в один. Вам же дано уравнение Лапласа для потенциала. При проецированиях вы просто меняете координатные сетки. При этом из-за локальной масштабируемости меняются плотности токов. Но потенциалы не масштабируются. Они остаются на месте. Если не верите, посчитайте в лоб.
Одна задача. Это задача на сфере с выкинутыми кругами на полюсах маленького радиуса.
Задайте на границах этих кругов потенциалы скажем +1 и -1.
Затем сделайте стереографическую проекцию этой выколотой сферы на плоскость и задайте те же +1 и -1 на получившихся окружностях. Решите задачу на плоскости, а потом сравните с результатом на сфере. Потенциалы везде совпадут. Не совпадут только величины плотностей токов, хотя направления опять совпадут.

-- 03.03.2017, 08:15 --

amon в сообщении #1196741 писал(а):
Munin в сообщении #1196687 писал(а):
А оно при сужении на поверхность даёт уравнение Лапласа на этой поверхности?
Согласен, что это место следует пояснять. Там тоже можно рассудюшкой, но что-то они популярностью не пользуются.


Ну хорошо. Давайте так.
Если уж вам хочется абсолютной математической строгости.
Пусть у нас есть два точечных заряда, разенсенные на какое-то расстояние $d$
Заряды просто в пространстве без всяких сфер. Вычислим поле и потенциалы вокруг этих зарядов. Понятон, что если эти заряды поместить в проводящую среду и подвести источник тока, чтобы компенсировать утекание заряда, то ток пойдет по линиям поля. Теперь ограничим наше пространство тонкой сферой, включающей оба заряда. Понятно, что поле теперь будет не по касательной к сфере. Но мы сосчитаем проекцию поля на касательную. Это и будет величина поля на изначальной сфере.
Кстати, потенциалы на сфере останутся те же, как и для распределения у точечных зарядов.
Единственное ограничение. Мы запретили утекание и втекание тока через поверхность сферы. Так что задача просто свелась к распределению потенциалов на сфере от двух точечных зарядов в пространстве.

Но тогда можно задачу обобщить на любой тип достаточно гладкой поверхности.
Достаточно сосчитать потенциал в пространстве от двух точечных зарядов, а потом "вырезать" его заданной поверхностью.
Интересно, где я наврал в моих рассуждениях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 19:55 
Аватара пользователя


09/10/15
2253
San Jose, USA
Где-то точно наврал.
Ведь тогда ничего нам не мешает запустить кое-где между зарядами поверхность, совпадающую с эквипотенциальной. Тогда тока на этом участке не будет. А это уже абсурд.
Получается, что наличие ограничивающей поверхности искривляет потенциал в пространстве.
Хотя заряд нигде не накапливается и равен нулю. А может тогда где-то накапливается до установившегося распределения? В общем я совсем запутался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 20:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2825
ФТИ им. Иоффе СПб
fred1996 в сообщении #1196823 писал(а):
Где-то точно наврал.
Тут, на мой взгляд, такая петрушка. Постановка с заданными потенциалами не хорошая (я в голове держал другую, о которой расскажу позже). Ваше колечко вокруг полюса преобразуется в кольцо большого, но конечного радиуса. Убрать его на бесконечность не получится - тогда на сфере получится некорректная задача с заданным в одной точке потенциалом. Область же на экваторе преобразуется в некоторую зюзюку, еще и не в центре кольца. Ответ начинает зависеть как от формы, так и от положения зюзюки, и что с этим делать - бог весть.

Я (как обычно, прочитав условие через строчку) держал в голове другую постановку. На контактах заданы токи. Тогда $\sigma E=j\;\Rightarrow \sigma \operatorname{div} E=\operatorname{div} j\;\Rightarrow \Delta \Phi=J\delta(\theta-\theta_0)\delta(\sin\theta-\sin\theta_0)\delta(\varphi-\varphi_0)$
Получился Пуассон для точечных зарядов. При инверсии $\delta$-функции умножатся на якобианы в соответствующих точках, поэтому на плоскости надо решать задачу с другими точечными зарядами. Зато, в такой постановке все вроде как точно решается без непонятных предельных переходов и спец. функций. Только надо заряд убрать из полюса - там у якобиана сингулярность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 21:13 
Аватара пользователя


09/10/15
2253
San Jose, USA
amon в сообщении #1196844 писал(а):
fred1996 в сообщении #1196823 писал(а):
Где-то точно наврал.
Тут, на мой взгляд, такая петрушка. Постановка с заданными потенциалами не хорошая (я в голове держал другую, о которой расскажу позже). Ваше колечко вокруг полюса преобразуется в кольцо большого, но конечного радиуса. Убрать его на бесконечность не получится - тогда на сфере получится некорректная задача с заданным в одной точке потенциалом. Область же на экваторе преобразуется в некоторую зюзюку, еще и не в центре кольца. Ответ начинает зависеть как от формы, так и от положения зюзюки, и что с этим делать - бог весть.


Не понимаю в чем проблема.
Задача на сфере с двумя маленькими выколотыми колечками в полюсах решается на раз.
Проецируем решение на плоскость так, что имеем кольцо с очень маленьким внутренним и очень большим наружным радиусоми. Сдвигаем всю плоскость на $2r$ или на сколько потребуется. Маленькая и большая окружности сдвинулись. Большая окружность все равно охватывает начало координат. У нее же радиус заведомо больше $2r$. Теперь мы все получившееся кольцо проецируем обратно на сферу. Маленькая окружность у нас будет охватывать наш второй контакт, а большая окружность спроецируется на маленькую окружность но все равно вокруг северного контакта. Таким образом все особые точки выкинуты из задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2825
ФТИ им. Иоффе СПб
fred1996 в сообщении #1196848 писал(а):
Не понимаю в чем проблема.
Ваши сдвинутые окружности на плоскости при проектировании перейдут в довольно хитрые кривые на сфере, а если Вы попробуете на сфере "разогнуть" их в окружности, то на плоскости получите хитрые кривые. Т.е. ответ в такой постановке зависит от формы контактов, а сделать контакты точечными нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
amon в сообщении #1196900 писал(а):
Ваши сдвинутые окружности на плоскости при проектировании перейдут в довольно хитрые кривые на сфере

Да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 23:59 
Аватара пользователя


09/10/15
2253
San Jose, USA
amon в сообщении #1196900 писал(а):
fred1996 в сообщении #1196848 писал(а):
Не понимаю в чем проблема.
Ваши сдвинутые окружности на плоскости при проектировании перейдут в довольно хитрые кривые на сфере, а если Вы попробуете на сфере "разогнуть" их в окружности, то на плоскости получите хитрые кривые. Т.е. ответ в такой постановке зависит от формы контактов, а сделать контакты точечными нельзя.


Мне даже неудобно как-то напоминать свойства стереографической проекции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение04.03.2017, 00:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2825
ФТИ им. Иоффе СПб
fred1996 в сообщении #1196922 писал(а):
Мне даже неудобно как-то напоминать свойства стереографической проекции.
Эт я не подумав ляпнул, виноват. Окружности перейдут в окружности, сдвинутся центры, и далее - по тексту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение04.03.2017, 00:17 
Аватара пользователя


09/10/15
2253
San Jose, USA
Munin в сообщении #1196624 писал(а):
fred1996
А напишите-ка правильно уравнение Лапласа на сфере. А то я засомневался.


Попробую расшифровать глубину вашей мысли.
Итак, чем отличается распределение потенциала на сфере от аналогичного от двух точечных зарядов в 3D но на той же сфере?
Я думаю в том, что в пространственной задаче у нас чистый Лаплас, а на сфере уже немножко Пуассон, но Пуассон, который в ближайшем рассмотрении все-равно Лаплас.
То есть от двух зарядов в 3D на сфере поле не тангенциально поверхности этой сферы. Но кто-то удерживает ток от утекания со сферы. А это перераспределение тока в тонком пограничном слое так, что у нас появляется пространственный заряд но с радиальной дивиргенцией. Этот заряд создает компенсирующее поле, и радиальная компонента в уравнении Пуассона полностью компенсируется правой частью.
Сокращаем их и получаем совершенно легальный Лаплас на сфере.
Вот, попутно разобрался где наврал в предыдущем рассуждении о потенциале в 3D.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение04.03.2017, 00:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
В общем, это математически формулируется совсем иначе. Но отдалённо верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение04.03.2017, 00:45 
Аватара пользователя


09/10/15
2253
San Jose, USA
Munin в сообщении #1196941 писал(а):
В общем, это математически формулируется совсем иначе. Но отдалённо верно.


Извините, 40 лет не брал в руки шашки. :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 83 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group