2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Кинематика. Летит диск.
Сообщение26.02.2017, 04:31 


09/10/15
1027
San Jose, USA
Изображение
На диск намотаны две нерастяжимые невесомые нити, прикрепленные к потолку.
Диск летит под действием силы тяжести так, что обе нити все время натянуты.
Радиус диска $R$.
В какой-то момент времени угловая скорость вращения диска $\omega$, а угол между нитями $\alpha$.
Определить, с какой скоростью в это время летит центр диска.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика. Летит диск.
Сообщение26.02.2017, 09:53 


27/08/16
1036
$\frac{\omega R}{\sin \alpha/2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика. Летит диск.
Сообщение26.02.2017, 12:08 


05/02/11
971
Москва
КОсинус..

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика. Летит диск.
Сообщение26.02.2017, 12:12 


27/08/16
1036
При косинусе искомая скорость в пределе нулевого угла между нитями не будет бесконечна.
Да, косинус.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика. Летит диск.
Сообщение26.02.2017, 12:41 
Заслуженный участник


21/09/15
643
Ждем продолжения. Не предложит ли автор рассмотреть динамику?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика. Летит диск.
Сообщение26.02.2017, 14:05 


26/02/17
1
У меня вышло: $2 \omega R$$\cos\alpha/2$

Суть ведь в том, что за малых промежуток времени диск одновременно проходит по направлениям нитей равные перемещения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика. Летит диск.
Сообщение26.02.2017, 16:31 


09/10/15
1027
San Jose, USA
Суть в том, что твердое тело при сложном движении имеет моментальную точку вращения. Чтобы ее найти, достаточно знать направление векторов скоростей двух его точек.
Задачка взята из Кванта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика. Летит диск.
Сообщение26.02.2017, 20:13 


05/02/11
971
Москва
Мне легче было определить искомый вектор по двум его проекциям на заданные направления.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика. Летит диск.
Сообщение26.02.2017, 20:41 


09/10/15
1027
San Jose, USA
Я тоже первый раз так решил, а потом только дошло, что точки, где нити касаются диска имеют вектора скоростей, проходящие через центр диска.
То есть задачка сводится к еще более простой геометрии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика. Летит диск.
Сообщение26.02.2017, 21:32 


27/08/16
1036
fred1996 в сообщении #1195628 писал(а):
точки, где нити касаются диска имеют вектора скоростей, проходящие через центр диска.

Главное, что перпендикуляры к этим скоростям - это прямые, на которых лежат сами нити. Следовательно, мгновенный центр вращения твёрдого тела находится на пересечении этих прямых. А угловая скорость вращения задана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика. Летит диск.
Сообщение26.02.2017, 21:38 


09/10/15
1027
San Jose, USA
realeugene в сообщении #1195638 писал(а):
fred1996 в сообщении #1195628 писал(а):
точки, где нити касаются диска имеют вектора скоростей, проходящие через центр диска.

Главное, что перпендикуляры к этим скоростям - это прямые, на которых лежат сами нити. Следовательно, мгновенный центр вращения твёрдого тела находится на пересечении этих прямых. А угловая скорость вращения задана.


Ну вот, всю интригу испортили для будущих поколений... :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика. Летит диск.
Сообщение27.02.2017, 11:01 


05/02/11
971
Москва
Давайте всё сделаю длинно и нудно, но видно - что. Введём единичные векторы, каждый из которых параллелен 1й и 2й нитям $\mathfb e_1,\mathfb e_2$.
Введём также перпендикулярные им орты, лежащие на соответственных радиусах $\mathfb e_{1\perp},e_{2\perp}$. Вектор скорости центра диска обозначим $\mathfb v$. Выразим его через введённые векторы:
$$\mathfb v=\omega R\mathfb e_1+v_1\mathfb e_{1\perp}$$ $$\mathfb v=\omega R\mathfb e_2+v_2\mathfb e_{2\perp}$$
Oтсель $$v^2=(\omega R)^2+v_1^2$$ $$v^2=(\omega R)^2+v_2^2$$ Значит, $v^2_2=v^2_1$, т.е. модули $v_2=v_1.$
Положим $\mathfb v=a_1\mathfb e_1+a_1\mathfb e_1,$ где $a_1, a_2$ - неизвестные числа.
Умножим скалярно 1е и 2е векторные уравнения соответственно на $\mathfb e_1,\mathfb e_2$. Получим систему
$$a_1+a_2(\mathfb e_1,\mathfb e_2)=\omega R$$ $$a_1(\mathfb e_1,\mathfb e_2)+a_2=\omega R$$ $$(\mathfb e_1,\mathfb e_2)=\cos\alpha$$
где $\alpha$ - угол между нитями. Заканчиваю до поздневшего вечера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика. Летит диск.
Сообщение27.02.2017, 16:34 


05/02/11
971
Москва
Так вот, осталось лишь решить эту систему; её решение $$a_1=a_2=\frac{\omega R}{1+\cos\alpha}$$
Отсюда $$\vec v=\frac{\omega R}{1+\cos\alpha}(\vec e_1+\vec e_2)$$ $$|\vec v|=\frac{\omega R}{\cos(\alpha/2)}$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, profrotter, Jnrty, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group