2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 На сколько частей макс разбивают пространство 5 сфер/ n сфер
Сообщение25.02.2017, 16:57 


25/02/17
3
Известное решение проблемы, изложенной в заголовке, для n=5 гласит, что при добавлении 5 сферы к 4, делящим пространство на 16 частей ( что достаточно очевидно) появится 14 новых частей пространства, так как имеющиеся 4 сферы пересекут поверхность пятой, поделив ее на 14 частей, что в сумме с 16 имеющимися частями пространства даст 30. Однако у меня не получается такое положение представить на чертеже, максимум получается 28. Решение, изложенное выше, является скорее оценкой сверху. Помогите доказать существование разбиения 5 сферами именно на 30 частей. Как именно должны быть расположены сферы, и возможно ли такое разбиение, если сферы одинакового радиуса?

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько частей макс разбивают пространство 5 сфер/ n сфер
Сообщение26.02.2017, 00:55 
Заслуженный участник


10/01/16
1136
Pentagon
Попробуйте такую конфигурацию: пять сфер радиуса 100 с центрами в: вершинах тетраэдра с ребром 1, и в центре тетраэдра. Такая сфера пересекает такую почти по экватору. Посчитайте - по известному решению, как растет число частей при двух. трех. четырех "вершинных" сферах. Сделайте, наконец, то же для "центральной"...

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько частей макс разбивают пространство 5 сфер/ n сфер
Сообщение26.02.2017, 01:13 


25/02/17
3
У меня на рисунке получается, что центральная сфера слишком большая, и не пересечет достаточное кол- во областей. Есть идея взять криволинейный тетраэдр, образованный четырьмя сферами с центрами в вершинах тетраэдра, рассмотреть его как бы отдельно, учитывая, что у него четыре вершины, шесть ребер, и 4 стороны, которые при продолжении его сторон дают как раз 14 областей, которые лежат внутри системы из 4х сфер (+2 - внешнее пространство и внутренность самого криволинейного тетраэдра) и прибегнуть к малому шевелению одной его грани, как бы чуть повернув ее (Это обозначит пятую сферу.) Вроде бы это сечет все области, кроме двух, что и требуется. Но я не уверен еще в решении.

Удивился, когда услышал, что на олимпиаде засчитывается простое решение по индукции - две сферы поверхность третьей делят на 4 обл, 3 сферы 4-ю на 8, 4 5-ю на 14 и.т. д. Это же фактически оценка сверху без построения примера. Ведь нужно еще доказать существование разбиения на 30 частей, а не просто объяснить, почему больше невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько частей макс разбивают пространство 5 сфер/ n сфер
Сообщение26.02.2017, 10:12 


25/02/17
3
Upd с утра на свежую голову разобрался в решении DeBill, да, действительно оно более красивое. Большое спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Rak so dna


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group