2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Решение уравнения в целых числах
Сообщение24.02.2017, 18:31 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Доказать, что следующее уравнение не имеет решений в целых числах
$$\[{x^3} + {y^3} = 4({x^2}y + x{y^2} + 1)\]$$
Я решил привести уравнение в таком виде: $$\[{(x + y)^3} = 7({x^2}y + x{y^2}) + 4\]$$
и сделать замену $\[t = {x^2}y + x{y^2}\]$ и $\[n = x + y\]$, тогда,так как $\[n,t \in {\rm Z}\]$,задачу можно будет свести к доказательству следующего утверждения: $$\[{n^3}\not  \equiv 4{\text{ }}(\bmod {\text{ }}7)\]$$
Пользуясь калькулятором, можно заметить, что куб при делении на $7$ дает остатки $\[0, \pm 6, \pm 1\]$, но у меня возникли затруднения, как доказать, что других остатков нет.

-- 24.02.2017, 19:34 --

Да и вообще, известно ли решение уравнения $$\[{a^b} \equiv x{\text{ }}(\bmod {\text{ }}c)\]$$
относительно $x$, где $\[a,b,c \in {\rm Z}\]$?

-- 24.02.2017, 19:38 --

gris в сообщении #1195115 писал(а):
Перебором. Возвести в куб числа от $0$ до $6$ и посмотреть на остатки.

Rusit8800 в сообщении #1195113 писал(а):
$\[0, \pm 6, \pm 1\]$

И почему только до $6$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения в целых числах
Сообщение24.02.2017, 18:49 


20/03/14
12041
А какие остатки от деления на семь, интересно?

gris, я все вижу, не сумлевайтесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения в целых числах
Сообщение24.02.2017, 20:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Rusit8800 в сообщении #1195113 писал(а):
И почему только до $6$?

Потому что больше чисел нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения в целых числах
Сообщение25.02.2017, 10:12 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
ИСН в сообщении #1195150 писал(а):
Потому что больше чисел нет.

Ну, например, все остальные целые числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения в целых числах
Сообщение25.02.2017, 10:27 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Вы же с остатками работаете, действительно, раз берете по модулю 7. Сравнения ведь знаете?
Если есть какое-то $k$, то по модулю 7 оно сравнимо либо с нулем, либо с единицей, либо....итд.
Тогда $k^3 \equiv 0 \pmod 7$, либо $k^3\equiv 1\pmod 7$, либо ... продолжите сами.

Когда-то, когда я не знала, что это за зверь такой полезный, сравнения, я делала так, например:
если число, к примеру, вида $7m+2$, то $(7m+2)^3$ по очевидным причинам имеет остаток 1 при делении на 7. Это то же самое. Просто инструмент сравнений позволяет сделать это более наглядно:
$k\equiv 2\pmod 7 \Rightarrow k^3 \equiv 8\equiv 1\pmod 7$.

Все целые числа при этом уже мало нужны. Прямо так скажем, вовсе не нужны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения в целых числах
Сообщение25.02.2017, 10:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Rusit8800 в сообщении #1195233 писал(а):
Ну, например, все остальные целые числа.

Какие ещё остальные - откуда им взяться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения в целых числах
Сообщение25.02.2017, 10:41 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Rusit8800 в сообщении #1195113 писал(а):
дает остатки $\[0, \pm 6, \pm 1\]$

$$+6 \equiv -1, -6 \equiv +1.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения в целых числах
Сообщение25.02.2017, 17:38 


03/06/12
2745
SomePupil в сообщении #1195239 писал(а):
$$+6 \equiv -1, -6 \equiv +1.$$

Еще бы модуль указать.
Rusit8800 в сообщении #1195113 писал(а):
И почему только до $6$?

Потому что модуль 7. Вообще, в данном случае множество всех целых чисел разбивается на 7 непересекающихся классов. И числа 0,1,...,6 - простейшие представители каждого из этих чисел. Разумеется, никто не запрещает брать в качестве представителей этих классов другие целые числа, просто, как правило, это усложняет расчеты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения в целых числах
Сообщение25.02.2017, 19:17 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Sinoid в сообщении #1195320 писал(а):
Потому что модуль 7. Вообще, в данном случае множество всех целых чисел разбивается на 7 непересекающихся классов. И числа 0,1,...,6 - простейшие представители каждого из этих чисел. Разумеется, никто не запрещает брать в качестве представителей этих классов другие целые числа, просто, как правило, это усложняет расчеты.

Мне это не очевидно. Может есть такая теорема в теории чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения в целых числах
Сообщение25.02.2017, 19:27 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Rusit8800
Я там выше писала так подробно, что уже и вроде дальше некуда. Таки знаете Вы сравнения или нет? Можно и без них (как без них, тоже написала), но с ними нагляднее. Вот Вам и все, что требуется тут от теории чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения в целых числах
Сообщение26.02.2017, 09:38 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Otta в сообщении #1195236 писал(а):
$k\equiv 2\pmod 7 \Rightarrow k^3 \equiv 8\equiv 1\pmod 7$

Видимо, так как я не знаком со сравнениями, то такой переход мне не очень понятен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения в целых числах
Сообщение26.02.2017, 10:40 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Не знакомы - ознакомьтесь. Вы же спрашивали, с чем ознакомиться. Это полезные сведения.

Но, однако, я писала и абсолютно то же без сравнений. Там что, тоже непонятно?
Otta в сообщении #1195236 писал(а):
если число, к примеру, вида $7m+2$, то $(7m+2)^3$

... так вот что там с его остатком? И всего сколько таких видов чисел придется смотреть? Посмотрите. Это не долго.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения в целых числах
Сообщение26.02.2017, 12:39 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Otta в сообщении #1195475 писал(а):
если число, к примеру, вида $7m+2$, то $(7m+2)^3$

Это понял, все числа с $m$ делятся на $7$, а остаток всюду один и тот же. Видимо, нужно рассматривать числа от $0$ до $6$,потому что$m \in \left\{ {0,1,2,3,4,5,6} \right\}$

-- 26.02.2017, 13:42 --

Otta в сообщении #1195475 писал(а):
Не знакомы - ознакомьтесь. Вы же спрашивали, с чем ознакомиться. Это полезные сведения.

Кстати, насчет этого, хотел найти книгу по основам теории чисел на продвинутом школьном уровне, при этом, чтобы она не покрывала университетский курс. Предлагали книгу Бардушкина, но мне показалось, что там маловато теории и задачи, данные для упражнения, достаточно просты, а сложных задач весьма мало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения в целых числах
Сообщение26.02.2017, 12:54 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Rusit8800 в сообщении #1195511 писал(а):
Otta в сообщении #1195475 писал(а):
если число, к примеру, вида $7m+2$, то $(7m+2)^3$

Это понял, все числа с $m$ делятся на $7$, а остаток всюду один и тот же. Видимо, нужно рассматривать числа от $0$ до $6$,потому что$m \in \left\{ {0,1,2,3,4,5,6} \right\}$

Значит, не поняли. :(

Произвольное целое число $N$ делим на 7. Получаем какой-то остаток. Обычно остатки записывают в диапазоне от 0 до 6.
Как это будет выглядеть в формальной записи? $N=7m+q$, где $q=0,\ldots 6$.

Я (только чтобы не решать все за Вас) привела пример с остатком 2.
Вот берите этот список с 7-ю разными остатками и возводите в куб. И смотрите, что получится опять же в остатке от деления на 7 куба.

-- 26.02.2017, 15:10 --

Rusit8800 в сообщении #1195511 писал(а):
Кстати, насчет этого, хотел найти книгу по основам теории чисел на продвинутом школьном уровне, при этом, чтобы она не покрывала университетский курс.

Вам пока всю теорию чисел не надо. Начните с малого. Например: http://kvant.mccme.ru/1970/05/sravneniy ... arifme.htm
Задач там, кстати, предостаточно, несмотря на малый формат.

Более продвинутые результаты есть здесь. Тоже "малый формат".

А так в сети много чего можно нарыть еще, на любой вкус. Ну может, кто-то еще что-нибудь посоветует. Но эта тема - небольшая, ее только надо "нарешать".

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения в целых числах
Сообщение26.02.2017, 13:11 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Rusit8800 в сообщении #1195511 писал(а):
Кстати, насчет этого, хотел найти книгу по основам теории чисел на продвинутом школьном уровне, при этом, чтобы она не покрывала университетский курс. Предлагали книгу Бардушкина, но мне показалось, что там маловато теории и задачи, данные для упражнения, достаточно просты, а сложных задач весьма мало.

В "Курсе Алгебры" Винберга буквально на первых страницах есть материал по вычетам.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group