Доказательство нормальности распреедления.

[Andrei P]

Требуется обосновать нормальность экспериментального распределения. Используем критерий $\chi ^2 $.
По мат. литературе так: формулируем основную гипотезу $H_0$ об однородности экспериментального и теоретического (в данном случае нормального) распределения, и альтернативную, $H_1$ гипотезу о том, что распределения неоднородны. Далее на уровне значимости 0,05 и 0,01 проверяем, если $\chi ^2 $ эмпирическое больше, соотв. критического значения, принимаем альтернативную гипотезу, если меньше $\chi ^2 $ критического для уровня значимости 0,05 -- "нет оснований отклонять основную гипотезу..."
Проверил по трем разным учебникам, включая распространеннейший учебник Гмурман "Теория вероятности и математическая статистика".
Что у меня вызывает сомнение: предположим, что наше эмпирическое значение критерия соответствует критическому на уровне значимости 0, 05. Это означает, что вероятность ошибочного принятия альтернативной гипотезы 5 %, но это ведь не означает, что мы доказали тот факт, что экспериментальное распределение подчиняется нормальному распределению! Или для доказательства нормальности распределения надо использовать уровень значимости 0,95 -- но при малом числе степеней свободы доказать чрезвычайно трудно.

[Someone]

Andrei P в сообщении #1195077 писал(а):

но это ведь не означает, что мы доказали тот факт, что экспериментальное распределение подчиняется нормальному распределению!

Разумеется. Доказать это вообще нельзя. Поэтому вывод так и формулируется: "нет оснований отвергнуть…"

P.S. Как я понимаю, речь идёт о критерии хи-квадрат. Буква $\chi$ кодируется как \chi.

[Andrei P]

Someone в сообщении #1195083 писал(а):

Разумеется. Доказать это вообще нельзя. Поэтому вывод так и формулируется: "нет оснований отвергнуть…"

Разумеется, в статистике строго ничего доказать нельзя. Но...
Нет оснований отвергнуть, на уровне значимости 0,05 означает, что 95% вероятность того, что распределение не является нормальным, а 5%, что является. Мне кажется, что для обоснования того, что распределение является нормальным нужно большая вероятность того, что верна основная гипотеза (об однородности с нормальным распределением). Если предположить, что $H_0$ и $H_1$ образуют полную группу, то логично, что уровень значимости для того, чтобы считать распределение нормальным должен быть другим (не 0,05).

[Someone]

Andrei P в сообщении #1195138 писал(а):

Нет оснований отвергнуть, на уровне значимости 0,05 означает, что 95% вероятность того, что распределение не является нормальным, а 5%, что является.

Нет. Уровень значимости — это вероятность отвергнуть нулевую гипотезу при условии, что она верна. А то, о чём Вы говорите — это другая величина.

[Евгений Машеров]

Доказать в обычном математическом смысле принадлежность случайной величины к данному распределению средствами статистики невозможно. Просто потому, что наблюдённые значения подвержены случайности, и нельзя быть уверенным, что статистические характеристики, указывающие на данное распределение, не выпали при том, что величина подчинена другому распределению. При этом даже если гипотеза о принадлежности случайной величины данному распределению верна, её характеристики вряд ли будут равны теоретическим, асимметрия и эксцесс не нулевые, распределение по ячейкам при вычислении $\chi^2$ будет отличаться от теоретического. Поэтому уподобляются лемовскому королю, который "уплатил дукатами, полновесными лишь статистически".
Строится гипотеза, в данном случае что величина подчинена данному распределению, и вычисляется вероятность, с которой наблюдаемые (и превышающие их) отклонения от теоретически предсказанных величин достигались бы. Если эта вероятность мала - в разных отраслях могут быть разные соглашения, но обычно используют 5% и 1% - то полагаем, что случайным при верности гипотезы такое отклонение быть не может, и гипотеза отвергается.
Строго доказывать вид распределения можно методами теории вероятностей в рамках некоей матмодели, как Колмогоров выводил логнормальный закон распределения частиц при дроблении (при этом в ряде случаев он статистически не подтверждается, что, разумеется, означает не ошибку Колмогорова, а то, что в этих случаях принятые при построении модели допущения не выполняются).