2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 05:35 


09/10/15
1346
San Jose, USA
Изображение
Собственные моды такого маятника легко угадываются из симметрии.
Одна стоячая симметричная мода, когда средняя масса совершает чисто вертикальное колебание, а два крайние совершают синхронные со средней колебания в противофазе друг к другу. Задачка для этой моды вполне считабельная, поскольку из-за симметрии сводится к одной степени свободы.

Вторая мода синфазная в том плане, что все три массы совершают горизонтальные колебания в одинаковой фазе. Центральная масса вообще без вертикальной скорости, а обе крайние массы в противофазе по вертикали.
Задачку для этой моды можно решить в два приема.
Очевидно, что вертикальное смещение центральной массы будет второго порядка малости по отношению к первому порядку малости вертикального смещения крайних грузов.
Мы ее так в лоб не сможем оценить. Но можем схитрить. Давайте эту массу жестко прикрепим к горизонтальной рельсе без трения. Так что она вообще не сможет смещаться по вертикали. Тогда у нас задача тоже превращается в колебание с одной степенью свободы. И частота считается вполне конкретно. А раз так, мы в любом положении можем сосчитать силу, с которой рельсина давит на среднюю массу и таким образом сосчитать вертикальное ускорение, которое получила бы эта средняя масса без рельсины. Но ведь точно так же, как рельсина давит на среднюю массу, так и через стержни передается эта экстра сила крайним массам. То есть можно одновременно ввести поправки по экстра ускорениям для всех трех масс, которые и дадут искомую поправку второго порядка к смещениям всех трех масс.
Надеюсь что хоть кто нибудь понял ход моих "глубоких размышлизмов". :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 12:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63641
fred1996 в сообщении #1194509 писал(а):
Очевидно, что вертикальное смещение центральной массы будет второго порядка малости по отношению к первому порядку малости вертикального смещения крайних грузов.

Вы где-то обсчитались. Первого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 13:37 
Аватара пользователя


16/09/15
665
ФОПФ МФТИ
Munin в сообщении #1194553 писал(а):
Вы где-то обсчитались. Первого.

Второго.Это же действительно очевидно, поскольку крайние уже "имеют начальный угол по вертикали", а нижний - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 14:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63641
Однако крайние уже имеют и "начальный угол по горизонтали".

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 15:01 
Аватара пользователя


16/09/15
665
ФОПФ МФТИ
Если взять углы смещения 1 порядка, то они кажется должны выходить примерно одинаковыми, а порядок смещения нижнего по вертикали - их разность (сторона треугольника по 1 порядку не изменяется из-за верт. направления, но изменяется из-за разности в горизонтальном, соответственно высота тоже и угол ее отклонения), поэтому она равна нулю.
Надо, как и в той задаче:
fred1996 в сообщении #1194404 писал(а):
косинусы малых углов нужно раскладывать до второго члена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 15:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63641
Не буду вам мешать распутаться самостоятельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2610
ФТИ им. Иоффе СПб
Как я говорил в параллельной теме, эта задача эквивалентна задаче о двух маятниках, связанных пружинкой. Роль пружинки играет средний груз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 21:53 


09/10/15
1346
San Jose, USA
Собственно если угол смещения левого груза $\alpha$ вверх, то правого $\alpha-k_1\alpha^2$ вниз, а вертикальное смещение среднего $k_2l\alpha^2$
Если при равновесии угол смещения левого и правого грузов $\varphi$, то считая скорости этих грузов $v_0$ у среднего груза горизонтальная скорость $v\cos(\varphi)$
Как я уже говорил, вначале считаем, что средний груз двигается по горизонтальной рельсе. То есть в этом случае считаем $k_2=0$, к $k_1$ находим из геометрии.
После чего из энергетического уравнения находим частоту данной связной конструкции.
До этого конечно надо сосчитать начальный угол отклонения стержней при центральном грузе $\psi$

Интересно, в бытность мою студентом мы пользовались значками о-малое и O-большое.
Сейчас это принято?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63641
fred1996 в сообщении #1194684 писал(а):
Собственно если угол смещения левого груза $\alpha$ вверх, то правого $\alpha-k_1\alpha^2$ вниз, а вертикальное смещение среднего $k_2l\alpha^2$

Приведите расчёт. Заодно раскройте обозначения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2610
ФТИ им. Иоффе СПб
fred1996 в сообщении #1194684 писал(а):
вертикальное смещение среднего
У Вас задача с двумя степенями свободы, поэтому положение двух крайних грузов задает положение среднего. Считать надо изменение потенциальной энергии. Оно будет квадратичным по смещениям, как и положено для осциллятора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 23:27 


09/10/15
1346
San Jose, USA
amon в сообщении #1194696 писал(а):
fred1996 в сообщении #1194684 писал(а):
вертикальное смещение среднего
У Вас задача с двумя степенями свободы, поэтому положение двух крайних грузов задает положение среднего. Считать надо изменение потенциальной энергии. Оно будет квадратичным по смещениям, как и положено для осциллятора.


В том то и дело, что крайние грузы смещаются уже не под нулевым, а фиксированным углом, поэтому изменение их потенциальной энергии линейно относительно малого угла смещения, а вот изменение суммы их потенциальных энергий квадратично.
Это я к тому, что ваше предположение о горизонтальности всех скоростей у веревочного маятника в "равновесном" состоянии скорее всего неверно.
Если веревка двигается вправо, то все ее левые части имеют ненулевую скорость вверх а правой части вниз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение23.02.2017, 01:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2610
ФТИ им. Иоффе СПб
fred1996 в сообщении #1194701 писал(а):
Это я к тому, что ваше предположение о горизонтальности всех скоростей у веревочного маятника в "равновесном" состоянии скорее всего неверно.
Так вот с чем Вы до сих пор боритесь ;) Там другая задача была - все колебалось в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа (в $z$-направлении). В этом случае каждый шарик двигается как маятник, подвешенный на вертикальной нити, и очевидно, что смещение по $y$ квадратично по углу, а по $z$ - линейно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение23.02.2017, 07:07 


09/10/15
1346
San Jose, USA
Изображение

Дам пока только свой ответ.
$\omega_2^2=\frac32\frac{ g}{l}\frac{1}{\cos(\varphi)}[1-\frac13\sqrt{1+8\sin^2(\varphi)}]$
Тут понятно, что $\tg(\varphi)=3\tg(\psi)$
Поэтому ответ и можно выразить через один угол.
Для $\omega_1$ решение достаточно очевидное
Поведение при больших и малых углах может показаться странным.
Но на самом деле при этих углах сами колебания "странные"

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение23.02.2017, 08:58 


09/10/15
1346
San Jose, USA
Наоборот
$\tg(\psi)=3\tg(\varphi)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение23.02.2017, 09:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63641
Munin в сообщении #1194688 писал(а):
Приведите расчёт.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: profrotter, Jnrty, Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group