2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение24.02.2017, 19:08 


09/10/15
1239
San Jose, USA
В физике, как и в жизни, каждый решает свою задачу.
Зачастую основная сложность не в том, как решить задачу, а в том, чтобы задачи совпали хотя бы у одной пары физиков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение24.02.2017, 21:45 
Аватара пользователя


16/09/15
602

(Оффтоп)

:appl:

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение24.02.2017, 22:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2553
ФТИ им. Иоффе СПб
fred1996 в сообщении #1195089 писал(а):
Понятно, вы уже играете с массами и длинами стержней. А если все массы одинаковы и стержни тоже?
Не, не играю. Массы и длины равны единице. Давайте рассмотрим случай когда точки крепления совпали.
Вложение:
Triangle.png
Triangle.png [ 1.52 Кб | Просмотров: 249 ]
Тогда чтобы опустить средний груз надо поднять два крайних на ту же высоту, что энергетически не выгодно. С другой стороны с какого то момента (достаточно большой высоты подъёма среднего груза) подъём среднего груза приведет к линейному росту энергии среднего груза и малому изменению (квадратичного по подъёму среднего) крайних. Значит между этими ситуациями лежит точка равновесия. Это не глобальный, а локальный минимум потенциала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение25.02.2017, 02:50 


09/10/15
1239
San Jose, USA
Хорошо. Убедили. В детстве с вешалками не играл, но что-то похожее тоже из детства помню.
Только не помню что. :-(
То есть такая конструкция возможна, когда точки крепления достаточно близко и в цепи только три массы, что обеспечивает известную жесткость конструкции.
Остается выяснить, для какого максимального расстояния между точками крепления возможно такое равновесие.
И еще интересен вопрос.
Пока мы говорим о равновесии только в одной плоскости.
А давайте сделаем не двухлистник, а трехлистник.
То есть добавим еще одну точку подвеса и два звена.
Поместим три точки подвеса в вершины небольшого равностороннего треугольника. Опустим по одному звену с одинаковыми массами на конце, а потом еще опуситм по три звена, соединенные вторыми концами вместе посередине с одной масой на конце.
Такая конструкция похоже будет совсем устойчива.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение25.02.2017, 07:39 


27/08/16
1375
fred1996 в сообщении #1195210 писал(а):
Остается выяснить, для какого максимального расстояния между точками крепления возможно такое равновесие.
Одно необходимое условие равновесия мы знаем из предыдущего обсуждения: отношение тангенсов углов наклона стержней должно быть равно трём.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение25.02.2017, 08:51 


27/08/16
1375
amon в сообщении #1195179 писал(а):
Не, не играю. Массы и длины равны единице. Давайте рассмотрим случай когда точки крепления совпали.Вложение:
Triangle.png
Если немного подумать, то очевидно, что у вас на рисунке длины тяг разные, как гипотенузы двух различных прямоугольных треугольников с совпадающей одной боковой стороной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение25.02.2017, 08:57 


09/10/15
1239
San Jose, USA
realeugene в сообщении #1195220 писал(а):
amon в сообщении #1195179 писал(а):
Не, не играю. Массы и длины равны единице. Давайте рассмотрим случай когда точки крепления совпали.Вложение:
Triangle.png
Если немного подумать, то очевидно, что у вас на рисунке длины тяг разные, как гипотенузы двух различных прямоугольных треугольников с совпадающей одной боковой стороной.


Просто рисунок неудачный. А мысля верная.

-- 24.02.2017, 21:59 --

realeugene в сообщении #1195216 писал(а):
fred1996 в сообщении #1195210 писал(а):
Остается выяснить, для какого максимального расстояния между точками крепления возможно такое равновесие.
Одно необходимое условие равновесия мы знаем из предыдущего обсуждения: отношение тангенсов углов наклона стержней должно быть равно трём.


Вот для этого устовия есть два решения. Одно дает устойчивое равновесие, другое неустойчивое. А вот кагда они совпадают, это и даст критическую дистанцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение25.02.2017, 10:00 


27/08/16
1375
fred1996 в сообщении #1195221 писал(а):
Просто рисунок неудачный. А мысля верная.

Нет. Для равной длины тяг и свободно вращающихся шарниров нулевое расстояние тоже неустойчивое положение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение25.02.2017, 12:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2553
ФТИ им. Иоффе СПб
fred1996 в сообщении #1195210 писал(а):
Остается выяснить, для какого максимального расстояния между точками крепления возможно такое равновесие.
У меня получается уравнение четвертой степени. То есть аналитическое решение написать можно, но ответ некрасивый.

-- 25.02.2017, 12:31 --

А нет, вроде как раз для критического расстояния все должно красиво получиться (пока все делалось в уме, посему ни за что не ручаюсь, если вечером доберусь до бумаги, то проверю и, может, напишу).

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение25.02.2017, 18:23 


09/10/15
1239
San Jose, USA
Да. Для критического расстояния в критической точке потенциал ведет себя как $\alpha^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение25.02.2017, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2553
ФТИ им. Иоффе СПб
Не, соврал. Красиво не получается. Надо найти при каких $d$ у потенциала $U(h)=h-3\sqrt{1-\left(\sqrt{1-h^2}-d\right)^2}$ минимум сливается с максимумом на отрезке $h\in[0,1]$. Выглядит это так:
Вложение:
chainU.PNG
chainU.PNG [ 5.87 Кб | Просмотров: 165 ]

Кроме всяких там Кардано у меня ничего не получилось.

-- 25.02.2017, 22:54 --

Да, забыл сказать. $d$ это половина расстояния между точками крепления связей, а $h$ - высота подъёма среднего шарика, отсчитанная вверх от линии, соединяющей два крайних.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение26.02.2017, 08:44 


27/08/16
1375
Критическое расстояние между точками подвеса
$$\frac{6}{\sqrt{9+\sqrt[3]9\left(\sqrt[3]9+1\right)}}-\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt[3]9\left(\sqrt[3]9+1\right)}}\approx 0.7937$$

PS Решение вполне под силу старшекласснику.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение26.02.2017, 09:49 


09/10/15
1239
San Jose, USA
Чито-то верится с трудом.

Вот мои уравнения:

1. d+$\sin\varphi=\sin\psi$
Это жесткая связь $\varphi$ и $\psi$, позволяющая считать все производные $\psi$ по $\varphi$
2. $\tg(\psi)=3\tg(\varphi)$
Это уравнение равновесия.
3. $P=0.5(\cos\psi-3\cos\varphi)$
Это потенциальная энергия

Нужно приравнять первую и вторую производную этой энергии по $\varphi$ нулю с учетом уравнения 1., дающего жесткую связь углов.

Результат получается не для старшеклассника.

Сдается мне, вы где-то срезали не по правилам. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение26.02.2017, 09:54 


27/08/16
1375

(Оффтоп)

Хе-хе...

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение26.02.2017, 11:08 


27/08/16
1375
Недоупрощал немного. Вот так красивее:

$$2\frac{\sqrt{3^2+3^3\sqrt[3]3+3^2\sqrt[3]{3^2}}-\sqrt{3^2+3\sqrt[3]3+\sqrt[3]{3^2}}}{\sqrt{3^3+33\sqrt[3]3+19\sqrt[3]{3^2}}}$$

:lol:

Или так:

$$d=2(t^2-1)\sqrt{\frac{1+t^2+t^4}{19+11t^2+t^7}}, t=\sqrt[3]3$$

$d$ - расстояние между точками крепления.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: profrotter, Jnrty, Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group