Решение ДУ 2-го пор. методом операц. исчисления (непонятка)

[XpucToc]

Всем снова доброго утра. Решаю задание: "Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.". Само уравнение: ${x}'''-3{x}''+{x}'=4, x(0)=1, {x}'(0)=2, {x}''(0)=-2$

Собственно, решаю. Заменил все части уравнения их изображениями по таблице преобразований Лапласа, выразил операторное решение:
$X(p)=\frac{4+p^{3}+2p^{2}-2p-3p^{2}-6p+p}{p(p^{3}-3p^{2}+p)}=\frac{p^{3}-p^{2}-7p+4}{p^{2}(p^{2}-3p+1)}$

Затем использовал метод неопределённых коэффициентов, чтобы разложить его на сумму элементарных дробей и получил следующее выражение:
$\frac{p^{3}-p^{2}-7p+4}{p^{2}(p^{2}-3p+1)}= \frac{4}{p^{2}}+\frac{5}{p}-\frac{2(2p-5)}{p^{2}-3p+1}$

И вот тут проблема. Первые-то две части выражения я могу преобразовать обратно, а вот что делать с $\frac{2(2p-5)}{p^{2}-3p+1}$? Ни в одной таблице подобного выражения нет. Пробовал ещё раз разбивать на элементарные дроби - не получилось, пытался знаменатель раскладывать на множители - тоже ничего толкового не получается. Может, где ошибка? Так вроде перепроверил всё несколько раз (по крайней мере разложение точно правильное, подставлял числа), может. в преобразовании что-то не то? Подробное решение каждого шага могу выложить, если надо. Заранее спасибо.

[Someone]

XpucToc в сообщении #1194276 писал(а):

пытался знаменатель раскладывать на множители - тоже ничего толкового не получается

Вы бы показали, что у Вас не "толковое" получается.

А вообще, нужно найти корни этого квадратного трёхчлена, и разложение на множители сразу же пишется.

[XpucToc]

Someone в сообщении #1194289 писал(а):

А вообще, нужно найти корни этого квадратного трёхчлена, и разложение на множители сразу же пишется.

Делал я так, получается вот это:
$\frac{2(2p-5)}{p^{2}-3p+1}=\frac{2(2p-5)}{(p-\frac{3-\sqrt{5}}{2})(p-\frac{3+\sqrt{5}}{2})}=\frac{4}{2p-3-\sqrt{5}}\cdot \frac{4p-10}{2p-3+\sqrt{5}}$
Собственно, это и есть "не толковое".

[Someone]

XpucToc в сообщении #1194290 писал(а):

Someone в сообщении #1194289 писал(а):

А вообще, нужно найти корни этого квадратного трёхчлена, и разложение на множители сразу же пишется.

Делал я так, получается вот это:
$\frac{2(2p-5)}{p^{2}-3p+1}=\frac{2(2p-5)}{(p-\frac{3-\sqrt{5}}{2})(p-\frac{3+\sqrt{5}}{2})}=\frac{4}{2p-3-\sqrt{5}}\cdot \frac{4p-10}{2p-3+\sqrt{5}}$
Собственно, это и есть "не толковое".

А почему оно не толковое-то? На мой взгляд, вполне себе толковое. Последнее выражение (где произведение двух дробей) выкиньте нафиг, а получившуюся дробь разлагайте на элементарные. Это же стандартный путь, Вы по нему с самого начала пошли, но не дошли.

[XpucToc]

Someone в сообщении #1194300 писал(а):

получившуюся дробь разлагайте на элементарные.

Если разложить просто, как произведение, то можно найти оригинал первой дроби:
$\frac{2}{p-\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\xrightarrow[]{L^{-1}}2e^{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}t$
а вот выражение для второй дроби найти никак не смог.
Или раскладывать надо тем же методом неопределённых коэффициентов, что и в начале?

[Someone]

XpucToc в сообщении #1194314 писал(а):

а вот выражение для второй дроби найти никак не смог

И не удивительно. Если, конечно, вспомнить предельные соотношения для преобразования Лапласа.

Я же Вам написал:

Someone в сообщении #1194300 писал(а):

Последнее выражение (где произведение двух дробей) выкиньте нафиг,

а Вы хотите из него что-то получить.

И мне интересно, что бы Вы стали делать, если бы оригинал для второй дроби нашёлся. Неужели теорему о свёртке начали бы применять? Или просто написали бы произведение?

Someone в сообщении #1194300 писал(а):

получившуюся дробь разлагайте на элементарные. Это же стандартный путь, Вы по нему с самого начала пошли, но не дошли.

[XpucToc]

Someone в сообщении #1194315 писал(а):

получившуюся дробь разлагайте на элементарные

$\frac{4+2\sqrt{5}}{\sqrt{5}p+1}-\frac{4\sqrt{5}-8}{3\sqrt{5}+5-2\sqrt{5}p}$
Понятно, что числитель - это просто константа, которую можно "отодвинуть" в сторону, но способа преобразовать $\frac{1}{\sqrt{5}p+1}$ я тоже не нашёл.

Только, пожалуйста, без заумных слов, я заочник-первокурсник и, кроме того, уже и так понял, что Вы очень умный :)

[Lia]

XpucToc
Не задирайтесь. Множитель вынесите из знаменателя. Чему равен оригинал $1/(p-c)$, Вы должны сами знать.

Кстати,

Замечание за дублирование тем. Темы объединены.

[Someone]

XpucToc в сообщении #1194327 писал(а):

$\frac{4+2\sqrt{5}}{\sqrt{5}p+1}-\frac{4\sqrt{5}-8}{3\sqrt{5}+5-2\sqrt{5}p}$

Извините, бредятина какая-то получилась. Если Вы приведёте всё это безобразие к общему знаменателю, то первоначальное выражение не получится.

XpucToc в сообщении #1194327 писал(а):

способа преобразовать $\frac{1}{\sqrt{5}p+1}$ я тоже не нашёл.

Вынести коэффициент при $p$ за скобку. Но это ерунда, Вы просто где-то наврали в вычислениях.

XpucToc в сообщении #1194290 писал(а):

$\ldots=\frac{2(2p-5)}{(p-\frac{3-\sqrt{5}}{2})(p-\frac{3+\sqrt{5}}{2})}=\ldots$

Вот это самое хорошее выражение, его и разлагайте на простейшие дроби. Прямо как написано, без предварительных преобразований и "упрощений".

XpucToc в сообщении #1194327 писал(а):

Только, пожалуйста, без заумных слов

Да я заумных слов и не употреблял ещё.

[XpucToc]

Lia в сообщении #1194329 писал(а):

Множитель вынесите из знаменателя. Чему равен оригинал $1/(p-c)$, Вы должны сами знать.

Выносил, в сообщении это есть. Я не знаю точно, что делать с множителем $p$. А хотя вот:

Someone в сообщении #1194331 писал(а):

Вынести коэффициент при $p$ за скобку.

$\frac{1}{\sqrt{5}(p+\frac{1}{\sqrt{5}})}= \frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{(p+\frac{1}{\sqrt{5}})}$?

Someone в сообщении #1194331 писал(а):

Если Вы приведёте всё это безобразие к общему знаменателю, то первоначальное выражение не получится.

Косяк при переписывании:
$\frac{4\sqrt{5}+8}{2\sqrt{5}p+5-3\sqrt{5}}+\frac{4\sqrt{5}-8}{2\sqrt{5}+5+3\sqrt{5}p}$

(Оффтоп)

Lia в сообщении #1194329 писал(а):

Не задирайтесь.

О, форумная дедовщина :)

-- 21.02.2017, 15:47 --

Для первой дроби получил это: $\frac{4\sqrt{5}+8}{2\sqrt{5}p-(3\sqrt{5}-5))}=\left ( \frac{4\sqrt{5}+8}{2\sqrt{5}} \right )\frac{1}{p-\left ( \frac{3\sqrt{5}-5}{2\sqrt{5}} \right )}\xrightarrow[]{L^{-1}}\left ( \frac{4\sqrt{5}+8}{2\sqrt{5}} \right )e^{\frac{3\sqrt{5}-5}{2\sqrt{5}}t}$

[Someone]

XpucToc в сообщении #1194334 писал(а):

Для первой дроби получил это: $\frac{4\sqrt{5}+8}{2\sqrt{5}p-(3\sqrt{5}-5))}=\left ( \frac{4\sqrt{5}+8}{2\sqrt{5}} \right )\frac{1}{p-\left ( \frac{3\sqrt{5}-5}{2\sqrt{5}} \right )}$

Господи, да чем же Вам первоначальное выражение $p-\frac{3-\sqrt{5}}2$ не угодило?

XpucToc в сообщении #1194334 писал(а):

$\frac{1}{\sqrt{5}(p+\frac{1}{\sqrt{5}})}= \frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{(p+\frac{1}{\sqrt{5}})}$?

Ага.

-- Вт фев 21, 2017 14:56:25 --

XpucToc в сообщении #1194334 писал(а):

$\ldots=\left ( \frac{4\sqrt{5}+8}{2\sqrt{5}} \right )\frac{1}{p-\left ( \frac{3\sqrt{5}-5}{2\sqrt{5}} \right )}=\left ( \frac{4\sqrt{5}+8}{2\sqrt{5}} \right )e^{\frac{3\sqrt{5}-5}{2\sqrt{5}}t}$

Вы в самом деле полагаете, что правая часть равна левой?

[Lia]

(Оффтоп)

XpucToc в сообщении #1194334 писал(а):

О, форумная дедовщина :)

Форумный детсад.

XpucToc в сообщении #1194334 писал(а):

Выносил, в сообщении это есть.

Неправильно - есть.

-- 21.02.2017, 17:00 --

Еще раз, чему равен оригинал $\dfrac{1}{p-a}$?

[XpucToc]

Someone в сообщении #1194338 писал(а):

Господи, да чем же Вам первоначальное выражение $p-\frac{3-\sqrt{5}}2$ не угодило?

Нет-нет, я не Он :)
Но ведь выражение правильное? Разницы-то нет, выражением больше, выражением меньше...

Someone в сообщении #1194338 писал(а):

Вы в самом деле полагаете, что правая часть равна левой?

Вообще, $\xrightarrow[]{L^{-1}}$ был пару сообщений назад, данное выражение было продолжением решения, но ладно, поправил.

-- 21.02.2017, 16:02 --

Lia в сообщении #1194339 писал(а):

Еще раз, чему равен оригинал $\dfrac{1}{p-a}$?

Опять опоздали, я решил уже: $\frac{1}{p-a}\xrightarrow[]{L^{-1}}e^{at}$

[Lia]

Ну решил, ну и молодец. Значит, я вовремя. Все, надеюсь?

[XpucToc]

Lia в сообщении #1194342 писал(а):

Ну решил, ну и молодец. Значит, я вовремя. Все, надеюсь?

Нехорошо тыкать-то. Или грубость - форумная традиция?
Нет, ещё пока не всё, есть ещё вторая часть выражения :)