2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  След.
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение30.07.2017, 22:12 


09/08/13
203
Цитата:
Пусть $\mathsf{K_1}$ и $\mathsf{K_2}$ – малые категории. Категорией функторов $\mathsf{K}^{\mathsf{K}_1}_2$
Правильно понимаю, что оговорка "малые категории" не нужна, раз
Цитата:
Проверьте, что для малых $\mathsf{K}_1$ и $\mathsf{K}_2$ категория $\mathsf{K}^{\mathsf{K}_1}_2$ тоже малая.
? Простите, если повторился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение30.07.2017, 22:20 


31/12/15
203
Для больших категорий существование категории функторов не очевидно и зависит от принимаемой теории множеств. Может быть, может не быть. Для малых есть всегда.

-- 30.07.2017, 22:23 --

С этого начинается следующая глава.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение13.08.2017, 22:29 


09/08/13
203
Упражнение 10.22 не подразумевается в теореме 10.12?

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение13.08.2017, 22:39 


31/12/15
203
Ну, оно как бы очевидно, но в последующей теореме 10.23 именно так строится композиция морфизмов а некоторой вспомогательной категории (и там ссылка на это упражнение). Смысл упражнения -- пояснить, как устроена эта вспомогательная категория. Или даже сказать "когда мы вводим вспомогательные категории, надо всё аккуратно проверять"

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение14.08.2017, 20:38 


09/08/13
203
Цитата:
В таких случаях обычно говорят "изоморфизмы естественны по $A$". Это нестрогое выражение означает "некоторые два функтора естественно изоморфны", причём функторы предлагается угадать.
В какой главе встретится пример угадывания нужных функторов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение14.08.2017, 21:24 


31/12/15
203
Если пишут, что $A\times B\cong B\times A$ естественно по $A$ и $B$, имеют в виду, что есть не только изоморфизм объектов, но и некоторая согласованность действий над стрелками (в данном случае естественно изоморфны два функтора $F,G\colon\mathfrac{K}\times\mathfrac{K}\to\mathfrac{K}$ которые предлагаю угадать. Если не угадаете, этот пример скоро будет разобран). Таких естественных изоморфизмов будет много почти во всех главах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение14.08.2017, 22:29 


09/08/13
203
Да, я не подумал, что нужно задать также действие функтора на стрелки. Непонятно, можно ли для каждого функтора $F:K\times K\to K$, для которого $F(A,B)=A\times B$ выбрать проекции для всех произведений объектов такие, чтобы $F(f,g)=f\times g$. Это равносильно существованию естественных преобразований из $F$ в $(f,g)\mapsto f$ и $(f,g)\mapsto g$, не знаю, поможет ли это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение15.08.2017, 20:36 


09/08/13
203
ivvan в сообщении #1240655 писал(а):
Это равносильно существованию естественных преобразований из $F$ в $(f,g)\mapsto f$ и $(f,g)\mapsto g$
Не равносильно, естественные преобразования могут давать разные стрелки между одинаковыми объектами, так как объекты для функторов-концов могут иметь не единственные объекты-прообразы.
Не получается пока подумать о контрпримере к
ivvan в сообщении #1240655 писал(а):
можно ли для каждого функтора $F:K\times K\to K$, для которого $F(A,B)=A\times B$ выбрать проекции для всех произведений объектов такие, чтобы $F(f,g)=f\times g$
Напишите, если контрпример сложен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение15.08.2017, 23:10 


31/12/15
203
Думаю, что контрпример есть, но простой на ум не приходит. Смысл пояснения (про "предлагается угадать") был такой: обычно действие функторов на стрелках ясно из контекста, но по написанному изоморфизму его никак не видно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение18.08.2017, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
564
МО
george66 в сообщении #1221083 писал(а):
По естественному преобразованию его начало и конец однозначно восстановить нельзя (по функтору тоже), поэтому приходится вводить понятие "протоморфизм". Смотрите определение 6.6.

Чего-то туплю ;(
Почему нельзя, если они явно указаны в определении?
И функтора, и естественного преобразования..
--
Книжка очень понравилась, дочитал до собственно топосов (не плюнув до того на всю эту заумь, как было раньше ;).
Элементы функторов вставляют не по детски ;)

-- Пт авг 18, 2017 23:09:12 --

Кстати, подумалось: категорный язык очень должен подходить для всяких построений с графами - сокращать изложение, а м.б. даже и правильно формировать мыслительный процесс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение18.08.2017, 22:33 


31/12/15
203
Определение имеет вид "что-то может считаться началом чего-то, если", аналогично и с концом. Не сказано, что начало и конец определены однозначно. Рассмотрим множество пар $(0,0),(1,0),(2,0)$. Это функция (или график функции, в другой терминологии) из множества $(0,1,2)$ в какое-то множество, содержащее $0$. Но в какое? По графику не видно. Это может быть любое множество, содержащее $0$. Для функторов ситуация ещё хуже, даже начало определить нельзя, контрпример в конце предыдущей страницы этой темы.

Спасибо. Я затеял это всё писать, потому что надоело каждый год рассказывать. Хочешь рассказать что-то интересное про топосы: начинаешь с определения категории, потом функтора и т.д., когда доходишь до топосов, уже нет ни времени, ни энтузиазма. Зато постепенно накопился опыт, как это надо излагать. Если бы меня чаще хвалили, я бы всё время писал книги, как Лев Толстой!

Про топос графов популярная статья
https://arxiv.org/abs/math/0306394

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение19.08.2017, 01:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1359
Учебник хороший, но мне кажется что про эти прото-штуки вы зря рассказываете вообще, только людей путаете. Это реально нужно где-нибудь? Почему домен и кодомен не сделать частью определения естественного преобразования и функтора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение19.08.2017, 01:29 


31/12/15
203
Проясняю скрытые трудности. Справедливости ради, есть пара мест в учебнике, где я сознательно скрыл некоторые проблемы, чтобы не путать людей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение19.08.2017, 04:56 


31/12/15
203
Мы часто по некоторой категории строим более сложные категории (категория запятой, категория алгебр монады и т.д.), в которых стрелки берутся из исходной категории, а объекты совсем другие. Причём по стрелке её начало и конец в новой категории никак не видны. Например, берём категорию множеств, её стрелки это функции. Теперь берём категорию групп. Группы -- это множества с дополнительной структурой. В качестве стрелок между ними (гомоморфизмов) берутся функции, сохраняющие дополнительную структуру. Если воспринимать гомоморфизм как функцию (стрелку в $\mathsf{Set}$), его начало и конец (в $\mathsf{Set}$) это множества-носители групп, между которыми он действует. По ним нельзя восстановить сами группы (не видно, как делать композицию). Соответственно, морфизм в категории групп -- это на самом деле тройка "группа-начало, функция, группа-конец". Вместо того, чтобы объяснять это каждый раз, я решил объяснить один раз (во второй главе).

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение19.08.2017, 15:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1359
Ну у меня пока как-то не очень вяжется, как из того, что нету обратного функтора к забывающему $\mathbf{Group} \to \mathbf{Set}$ следует то, что о протоморфизмах нужно вообще думать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 129 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group