2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Эйлеровы кирпичи с мнимым ребром
Сообщение19.02.2017, 19:20 


10/12/15
12
Эйлеров кирпич - это параллелепипед с целыми (или рациональными) ребрами и лицевыми диагоналями. Фактически, если $x, y, z$ - ребра, a $a, b, c$ - его диагонали, то поиск эйлеровых кирпичей можно свести к поиску решений системы диофантовых уравнений:
$$x^2+y^2=a^2$$
$$y^2+z^2=b^2$$
$$x^2+z^2=c^2$$ (1)
Известно несколько подобных кирпичей, например, со сторонами (240, 117, 44).

А что известно насчет системы, немного отличной от предыдущей?
$$x^2+y^2=a^2$$
$$y^2-z^2=b^2$$
$$x^2-z^2=c^2$$ (2)
Назовем это эйлеровым кирпичем с мнимой стороной $iz$, такой, что $Im(iz)=z\in\mathbb{N}$. $b, c$ тоже могут оказаться мнимыми, кстати, но с целой мнимой частью.
Таких параллелепипедов достаточно много, например, со сторонами (20, 15, 12i), да и находятся они не трудно. И может ли быть в таком параллелепипеде целочисленная или мнимая с целой мнимой частью пространственная диагональ ($\sqrt{x^2+y^2-z^2}$), т.е., найдется ли совершенный кирпич с мнимым ребром? Все-таки, система (2) кажется несколько проще, чем система уравнений обычного, действительного кирпича (1).

 Профиль  
                  
 
 Re: Эйлеровы кирпичи с мнимым ребром
Сообщение08.03.2017, 00:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Попытки решения системы уравнений полного кубоида в мнимых полях были. К примеру:
A PERFECT CUBOID IN GAUSSIAN INTEGERS,
W. J. A, Colman, http://www.fq.math.ca/Scanned/32-3/colman.pdf
Найдено лишь хоть одно решение, мне неизвестно.
На мой взгляд, там поиск ничем не проще.
Я попробую показать общий подход к этой задаче.
Пусть существует решение системы уравнений кубоида с единичной "главной диагональю" в некотором алгебраическом поле в рациональных алгебраических числах

$$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 1 - a^2  = m^2  \\ 
 1 - b^2  = n^2  \\ 
 1 - c^2  = k^2  \\ 
 a^2  + b^2  + c^2  = 1 \\ 
 \end{array} \right.
\]$

Предложение. (Примем на веру)
Если в некотором алгебраическом поле выполняется в рациональных алгебраических числах

$$\[
1 - n^2  = m^2 
\]
$
то существует единственное алгебраическое рациональное $t$, что

$$\[
n = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }},m = \frac{{2t}}{{1 + t^2 }}
\]
$

Отсюда следует
$$\[
a = \frac{{1 - x^2 }}{{1 + x^2 }},b = \frac{{1 - y^2 }}{{1 + y^2 }},c = \frac{{1 - z^2 }}{{1 + z^2 }}
\]
$

Подставляя в уравнение "главной диагонали" получим уравнение

$$\[
\left( {\frac{{1 - x^2 }}{{1 + x^2 }}} \right)^2  + \left( {\frac{{1 - y^2 }}{{1 + y^2 }}} \right)^2  + \left( {\frac{{1 - z^2 }}{{1 + z^2 }}} \right)^2  = 1
\]
$

Это уравнение необходимое и достаточное условие для существования рационального решения исходной системы.
Запишем его так

$$\[
x^4  - 2\frac{{2\left( {1 + z^2 y^2 } \right)\left( {z^2  + y^2 } \right) + 8z^2 y^2 }}{{\left( {1 + z^2 y^2 } \right)^2  + \left( {z^2  + y^2 } \right)^2  - 8z^2 y^2 }}x^2  + 1 = 0
\]
$

или

$$\[
x^2  = \frac{{2\left( {1 + z^2 y^2 } \right)\left( {z^2  + y^2 } \right) + 8z^2 y^2  \pm \left( {1 + z^2 } \right)\left( {1 + y^2 } \right)\sqrt {16z^2 y^2  - \left( {1 - z^2 } \right)^2 \left( {1 - y^2 } \right)^2 } }}{{\left( {1 + z^2 y^2 } \right)^2  + \left( {z^2  + y^2 } \right)^2  - 8z^2 y^2 }}
\]
$

Существование рационального $x$ возможно только в том случае, если подкоренное выражение будет квадратом рационального числа. Мы можем найти даже параметрические решения для подкоренного выражения и проверить, не будет ли и $x$ рациональным, но мы не можем найти все решения для подкоренного выражения.
Отсюда моё мнение, доказать этим методом отсутствие полного кубоида невозможно, доказать же существование полного кубоида возможно только контрпримером.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group