2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Эйлеровы кирпичи с мнимым ребром
Сообщение19.02.2017, 19:20 


10/12/15
8
Эйлеров кирпич - это параллелепипед с целыми (или рациональными) ребрами и лицевыми диагоналями. Фактически, если $x, y, z$ - ребра, a $a, b, c$ - его диагонали, то поиск эйлеровых кирпичей можно свести к поиску решений системы диофантовых уравнений:
$$x^2+y^2=a^2$$
$$y^2+z^2=b^2$$
$$x^2+z^2=c^2$$ (1)
Известно несколько подобных кирпичей, например, со сторонами (240, 117, 44).

А что известно насчет системы, немного отличной от предыдущей?
$$x^2+y^2=a^2$$
$$y^2-z^2=b^2$$
$$x^2-z^2=c^2$$ (2)
Назовем это эйлеровым кирпичем с мнимой стороной $iz$, такой, что $Im(iz)=z\in\mathbb{N}$. $b, c$ тоже могут оказаться мнимыми, кстати, но с целой мнимой частью.
Таких параллелепипедов достаточно много, например, со сторонами (20, 15, 12i), да и находятся они не трудно. И может ли быть в таком параллелепипеде целочисленная или мнимая с целой мнимой частью пространственная диагональ ($\sqrt{x^2+y^2-z^2}$), т.е., найдется ли совершенный кирпич с мнимым ребром? Все-таки, система (2) кажется несколько проще, чем система уравнений обычного, действительного кирпича (1).

 Профиль  
                  
 
 Re: Эйлеровы кирпичи с мнимым ребром
Сообщение08.03.2017, 00:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
691
Попытки решения системы уравнений полного кубоида в мнимых полях были. К примеру:
A PERFECT CUBOID IN GAUSSIAN INTEGERS,
W. J. A, Colman, http://www.fq.math.ca/Scanned/32-3/colman.pdf
Найдено лишь хоть одно решение, мне неизвестно.
На мой взгляд, там поиск ничем не проще.
Я попробую показать общий подход к этой задаче.
Пусть существует решение системы уравнений кубоида с единичной "главной диагональю" в некотором алгебраическом поле в рациональных алгебраических числах

$$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 1 - a^2  = m^2  \\ 
 1 - b^2  = n^2  \\ 
 1 - c^2  = k^2  \\ 
 a^2  + b^2  + c^2  = 1 \\ 
 \end{array} \right.
\]$

Предложение. (Примем на веру)
Если в некотором алгебраическом поле выполняется в рациональных алгебраических числах

$$\[
1 - n^2  = m^2 
\]
$
то существует единственное алгебраическое рациональное $t$, что

$$\[
n = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }},m = \frac{{2t}}{{1 + t^2 }}
\]
$

Отсюда следует
$$\[
a = \frac{{1 - x^2 }}{{1 + x^2 }},b = \frac{{1 - y^2 }}{{1 + y^2 }},c = \frac{{1 - z^2 }}{{1 + z^2 }}
\]
$

Подставляя в уравнение "главной диагонали" получим уравнение

$$\[
\left( {\frac{{1 - x^2 }}{{1 + x^2 }}} \right)^2  + \left( {\frac{{1 - y^2 }}{{1 + y^2 }}} \right)^2  + \left( {\frac{{1 - z^2 }}{{1 + z^2 }}} \right)^2  = 1
\]
$

Это уравнение необходимое и достаточное условие для существования рационального решения исходной системы.
Запишем его так

$$\[
x^4  - 2\frac{{2\left( {1 + z^2 y^2 } \right)\left( {z^2  + y^2 } \right) + 8z^2 y^2 }}{{\left( {1 + z^2 y^2 } \right)^2  + \left( {z^2  + y^2 } \right)^2  - 8z^2 y^2 }}x^2  + 1 = 0
\]
$

или

$$\[
x^2  = \frac{{2\left( {1 + z^2 y^2 } \right)\left( {z^2  + y^2 } \right) + 8z^2 y^2  \pm \left( {1 + z^2 } \right)\left( {1 + y^2 } \right)\sqrt {16z^2 y^2  - \left( {1 - z^2 } \right)^2 \left( {1 - y^2 } \right)^2 } }}{{\left( {1 + z^2 y^2 } \right)^2  + \left( {z^2  + y^2 } \right)^2  - 8z^2 y^2 }}
\]
$

Существование рационального $x$ возможно только в том случае, если подкоренное выражение будет квадратом рационального числа. Мы можем найти даже параметрические решения для подкоренного выражения и проверить, не будет ли и $x$ рациональным, но мы не можем найти все решения для подкоренного выражения.
Отсюда моё мнение, доказать этим методом отсутствие полного кубоида невозможно, доказать же существование полного кубоида возможно только контрпримером.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group