2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 показательное уравнение
Сообщение19.02.2017, 16:53 


19/11/14
10
Решите уравнение $4^x+6^x+8^x+2016^x=5^x+7^x+9^x+2013^x$.Понятно, что $x=0$ и $x=1$ есть корни этого уравнение.А как доказать, что других корней нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: показательное уравнение
Сообщение20.02.2017, 02:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5477
Новосибирск
А для кого олимпиада?
Если $a>b$ , то $xb^{x-1}(a-b)<a^x-b^x<xa^{x-1}(a-b)$ при $x<0\vee x>1$ и наоборот при $0<x<1.$

Upd. Пришлось ещё раз править - лопухнулся в определении монотонности, как простой инженер студент-недоучка.

 Профиль  
                  
 
 Re: показательное уравнение
Сообщение22.02.2017, 00:20 


30/03/08
175
St.Peterburg
RLVV в сообщении #1193782 писал(а):
Решите уравнение $4^x+6^x+8^x+2016^x=5^x+7^x+9^x+2013^x$.Понятно, что $x=0$ и $x=1$ есть корни этого уравнение.А как доказать, что других корней нет?


по н. Бернулли:

1. $ x >1 \cup x<0$

$$4^x=5^x\left(1-\dfrac{1}{5} \right)^x > 5^x\left( 1-\dfrac{x}{5}\right )\ , \  6^x=7^x\left(1-\dfrac{1}{7} \right)^x > 7^x\left( 1-\dfrac{x}{7}\right )\ , \ 8^x=9^x\left(1-\dfrac{1}{9} \right)^x > 9^x\left( 1-\dfrac{x}{9}\right ) $$
$$ 2016^x = 2013^x \left( 1+\dfrac{3}{2013}\right )^x > 2013^x \left ( 1+\dfrac{3x}{2013}\right )$$
$$4^x+6^x+8^x+2016^x > 5^x+7^x+8^x+2013^x+x\cdot(3\cdot 2013^{x-1}-5^{x-1}-7^{x-1}-9^{x-1})> 5^x+7^x+8^x+2013^x$$

2. $0< x  <1$

$$4^x=5^x\left(1-\dfrac{1}{5} \right)^x < 5^x\left( 1-\dfrac{x}{5}\right )\ , \  6^x=7^x\left(1-\dfrac{1}{7} \right)^x < 7^x\left( 1-\dfrac{x}{7}\right )\ , \ 8^x=9^x\left(1-\dfrac{1}{9} \right)^x < 9^x\left( 1-\dfrac{x}{9}\right ) $$
$$ 2016^x = 2013^x \left( 1+\dfrac{3}{2013}\right )^x < 2013^x \left ( 1+\dfrac{3x}{2013}\right )$$
$$4^x+6^x+8^x+2016^x < 5^x+7^x+8^x+2013^x+x\cdot(3\cdot 2013^{x-1}-5^{x-1}-7^{x-1}-9^{x-1})< 5^x+7^x+8^x+2013^x$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group