2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 3 стороны треугольника
Сообщение19.02.2017, 10:20 
Аватара пользователя


21/06/08
460
Томск
Дано $n$ точек на поверхности, чтобы не существуют $3$ любые точки на одной прямой. Соединив $[\frac{n^2}{4}] +1$ отрезков, доказать, что из полученных отрезков есть 3 отрезка являются сторонами треугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3 стороны треугольника
Сообщение19.02.2017, 22:52 
Заслуженный участник


10/01/16
1295
Пусть нет треугольников.
Пусть $A$ - вершина максимальной степени, $S$ - смежные с ней, , $N$ - не смежные с ней, $\left\lvert S \right\rvert =d$.
Тогда ребер не более $d$ (из $A$) $+ d\cdot (n-d-1)$ (все прочие выходят из $N$, а степень вершин не превышает $d$ ) $= d(n-d)$. При четном $n=2k$ это не более $k^2$, при нечетном $n = 2k+1$ - не более $k(k+1)$. Противоречие.
Оценка точная: для двудольного графа с равными (почти) долями имеем равенство.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group