2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Четвёртая степень, уменьшенная на единицу
Сообщение19.02.2017, 00:33 
Аватара пользователя


01/12/11
5487
Меня не покидает стойкое ощущение, что эта задача на форуме уже была, причём не так давно. Более того, возможно даже я являюсь её автором.

Найти наименьшее натуральное значение $n$, для которого
$$m^4-1=n^k$$
верно при некоторых натуральных $m$ и $k$
На всякий случай напоминаю, что число $0$ натуральным не считается :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Четвёртая степень, уменьшенная на единицу
Сообщение19.02.2017, 01:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12767
Было, да. Там я ещё задался вопросом, насколько близки могут быть степени натуральных чисел. Так вот, чтобы отличались на единицу, кроме $(8,9)$ нет и нет. А уж четвёртая степень и подавно. Но доказали ли это?
Впрочем, если смотреть издалека, то единичку можно принять за семёрку. Тогда можно и порешать, правда, недолго.
А можно объединить и вместо $1$ взять $17$, но $7$ останется наименьшим натуральным числом, которое можно написать в исходном уравнении, чтобы оно имело хоть какие-нибудь натуральные решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четвёртая степень, уменьшенная на единицу
Сообщение19.02.2017, 01:58 
Аватара пользователя


28/07/09
1022
gris в сообщении #1193687 писал(а):
Там я ещё задался вопросом, насколько близки могут быть степени натуральных чисел. Так вот, чтобы отличались на единицу, кроме $(8,9)$ нет и нет

А можно поподробнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Четвёртая степень, уменьшенная на единицу
Сообщение19.02.2017, 02:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12767
Это гипотеза Каталана. https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan%27s_conjecture
Для единички в качестве расстояния её доказали, а в статье есть обобщения разного толка.
Очень вероятно, что расстояния между степенями возрастают неумолимо :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Четвёртая степень, уменьшенная на единицу
Сообщение19.02.2017, 08:16 
Аватара пользователя


01/12/11
5487
gris в сообщении #1193687 писал(а):
Было, да.

А Вы принципиально случайно не помните, где именно? Я её со свечками ищу и никак не могу найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четвёртая степень, уменьшенная на единицу
Сообщение19.02.2017, 10:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12767
http://dxdy.ru/topic115164.html

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group