2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Малые колебания веревки
Сообщение18.02.2017, 19:00 
Аватара пользователя


09/10/15
1954
San Jose, USA
Пусть у нас висит однородная веревка массы $m$ и длины $l$, закрепленная за оба конца, находящиеся на одном уровне и расстояние между ними $l_0$
Веревку чуток отклонили из положения равновесия так что получился этакий жидкий физический маятник. Расчитать период малых колебаний этой конструкции.

 Профиль  
                  
 
 Picture
Сообщение19.02.2017, 01:26 
Аватара пользователя


09/10/15
1954
San Jose, USA
Изображение

A и B - точки подвеса.
Всю веревку отклоняем немного в сторону так, чтобы никаких волн, одни простые колебания.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение19.02.2017, 01:40 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
11854
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Олимпиадные задачи (Ф)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение20.02.2017, 01:40 
Аватара пользователя


16/09/15
761
ФОПФ МФТИ
Первым в голову приходит, что можно пренебречь изменением формы веревки и считать, что вся конструкция как-бы отклоняется неизменившись , центр масс поднимается на маленькую высоту, то есть тогда просто посчитать период математического маятника для центра масс...
Вроде бы кажется естественным, что от массы ответ не должен зависеть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение20.02.2017, 02:04 
Аватара пользователя


09/10/15
1954
San Jose, USA
Ну хорошо, а как сосчитать максимальную скорость этого центра масс в нижней точке?
За обобщенные координаты можно брать центр масс, нижнюю точку. Но непонятно, как считать кинетическую энергию. Да и с потенциальной тоже проблемы. Даже если считать, что форма веревки не меняется, то она все равно становится несимметричной при максимальном отклонении. Появляется лишний кусочек, который тоже дает квадратичное слагаемое в потенциальную энергию. В общем пока вопросов больше, а ответа ни одного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение20.02.2017, 02:24 
Аватара пользователя


16/09/15
761
ФОПФ МФТИ
Несиметричность влияет первым пордяком малости на "радиус" к центру масс, а это нас не волнует, поэтому с потенциальной энергией проблем нет.Точного доказательства того, что кинетическую энергию системы можно считать такой же, как и в аналогии я предоставить не могу.Пока я выдал " интуитивный" ответ.
P.S. Это задача школьного уровня?

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение20.02.2017, 03:50 
Аватара пользователя


09/10/15
1954
San Jose, USA
Несимметричность как-раз очень сильно влияет.
Представьте, что мы увеличиваем $l_0$ до величины близкой к $l$.
Тогда симметричная веревка превратится фактически в жесткий физический маятник с очень большим периодом колебаний.
Несимметричная (наша) веревка уже превращается в сильно натянутую струну. И ее частота колебаний увеличивается с увеличением натяжения струны.

Для начала можно было бы попытаться решить задачу для симметричного случая. То есть жестко зафиксировать геометрию провисающей веревки и сосчитать частоту малых колебаний такого физического маятника. А потом сравнить в чем разница с реальной веревкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение20.02.2017, 07:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2761
ФТИ им. Иоффе СПб
Что-то терзают меня сомнения по поводу этой задачи. Простая задача - малые плоские колебания тяжелой цепи, подвешенной за один конец, решается с помощью функции Бесселя. Эта задача была решена Д. Бернулли задолго до того, как родился сам Фридрих Вильгельм Бессель, что подтверждает "гипотезу Арнольда". Ваша задача кажется мне более сложной. Я ее решения не видел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение20.02.2017, 07:39 
Аватара пользователя


09/10/15
1954
San Jose, USA
Так а я не стремлюсь найти точное решение.
Интересно просто попробовать на зуб.
Собственно поэтому я и опубликовал ее в другом разделе.
Но местное начальство решило сюда переадресовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение20.02.2017, 07:45 
Аватара пользователя


08/08/14
963
Москва
Поперёк плоскости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение20.02.2017, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2761
ФТИ им. Иоффе СПб
fred1996 в сообщении #1194013 писал(а):
Интересно просто попробовать на зуб.
Ну, давайте попробуем. Что мы хуже Бернулли? Только за моими руками следите, я это на бегу пишу, так что совру - недорого возьму. Будем рассматривать колебания только вдоль одной координаты. Нам известно уравнение покоящейся цепи (цепная линия, сиречь гиперболический косинус). Будем считать, что это уравнение записано в каноническом виде - $x$ и $y$ заданы как функции длины вдоль цепи: $x=x(s),\;y=y(s)$ где $s$ меняется от нуля до $L$, координата $y$ направлена вдоль силы тяжести, а болтается все это безобразие вдоль $z$.

У колеблющейся цепи $x$ не поменялось, $y=y(s)+u_y(s,t)$, $z=u_z(s,t)$. Переменные $u$ малы. Из нерастяжимости цепи следует, что $dx^2+dy^2+dz^2=ds^2$ откуда $x'(s)^2+(y'(s)+u_y')^2+u_z'^2=1$, откуда, пренебрегая членами высшего порядка получаем связь
$$
u_y'(s,t)=\frac{1-x'^2-y'^2-u_z'}{2y'}\quad(1)
$$
(Начиная с этого места $x$ и $y$ eу меня стали координатами равновесной цепи, но исправлять лень.) Осталось написать функцию Лагранжа. Кинетическая часть пишется просто: $T=\frac{\rho}{2}\int\limits_{0}^{L} \dot{u_z}^2ds$ (величиной $u_y$ пренебрегли, как имеющей более высокий порядок малости). Остается потенциальная энергия.
$$
\begin{align}
V&=\int\limits_{0}^{L}(y+u_y)ds=\int\limits_{0}^{L} y(s)ds+\int\limits_{0}^{L} u_yds=U+u_ys\vert_0^L-\int\limits_{0}^{L}su_y'ds\quad\text{итого}\\
V&=U+\int\limits_{0}^{L}\frac{\rho gs(1-x'^2-y'^2-u_z')}{2y'}
\end{align}
$$Здесь по дороге проинтегрировали по частям, воспользовались тем, что концы закреплены, обозначили потенциальную энергию равновесной цепи буквой $U$ и воспользовались (1). Теперь путь открыт к успеху: нарисуем функцию Лагранжа $\mathcal{L}=T-V$, проварьируем и получим уравнение
$$
\frac{\partial^2 u_z}{\partial t^2}=-\frac{\partial }{\partial s}\left(\frac{gs\frac{\partial u_z}{\partial s}}{y'(s)}\right)
$$
Как говаривал в подобных случаях друг Бернулли Леонард Эйлер "Решай кто может!".

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение20.02.2017, 17:18 
Аватара пользователя


09/10/15
1954
San Jose, USA
amon в сообщении #1194088 писал(а):
Ну, давайте попробуем. Что мы хуже Бернулли? Только за моими руками следите, я это на бегу пишу, так что совру - недорого возьму. Будем рассматривать колебания только вдоль одной координаты. Нам известно уравнение покоящейся цепи (цепная линия, сиречь гиперболический косинус). Будем считать, что это уравнение записано в каноническом виде - $x$ и $y$ заданы как функции длины вдоль цепи: $x=x(s),\;y=y(s)$ где $s$ меняется от нуля до $L$, координата $y$ направлена вдоль силы тяжести, а болтается все это безобразие вдоль $z$. ..... Кинетическая часть пишется просто: $T=\frac{\rho}{2}\int\limits_{0}^{L} \dot{u_z}^2ds$ (величиной $u_y$ пренебрегли...


В том то и дело, что это справедливо только для веревки, закрепленной одним концом.
А если у нас веревка растянута по горизонтали, то чем больше натяжение, тем больше вертикальная составляющая скорости. В пределе обычная струна с поперечной волной.
В нашем случае это более похоже на первую (не нулевую) гармонику.
То есть для $l_0$ близкой к нулю получаем то самое решение Бернулли, а для $l_0$ близкого к $l$ первая гармоника. Можно было бы наверное ожидать, что для промежуточных $l_0$ решение можно получить из суперпозиции двух этих решений с различными весовыми к-тами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение20.02.2017, 18:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2761
ФТИ им. Иоффе СПб
fred1996 в сообщении #1194112 писал(а):
В том то и дело, что это справедливо только для веревки, закрепленной одним концом.
IMHO, это справедливо для любой нерастяжимой тяжелой веревки. Все, что используется - условие нерастяжимости (1) и то, что перед этим. Из $x'(s)^2+(y'(s)+u_y')^2+u_z'^2=1$ следует, что колебания вдоль $y$ имеют второй порядок малости, и это не зависит от того, закреплены концы или нет. Закреплением концов я воспользовался, когда выводил потенциальную энергию (у Бернулли она другая, т.к. один конец не закреплен, и при интегрировании по частям внеинтегральный член не зануляется).

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение20.02.2017, 18:36 
Заслуженный участник


07/07/09
4933
Может начать с цепи из 3 звеньев ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение20.02.2017, 18:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2761
ФТИ им. Иоффе СПб
Xey в сообщении #1194137 писал(а):
Может начать с цепи из 3 звеньев ?
Убъёмся. Надо тогда модель звеньев изобретать. Непрерывная модель проще, только непонятно (мне) как уравнение решить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group