Как найти преобразование Фурье для заданной функции?

[XpucToc]

Доброго всем утра, не могу разобраться с одной темой. Есть задание: найти преобразование Фурье для заданной функции:
$f(x)=\left\{\begin{matrix} \cos x, \begin{vmatrix} x \end{vmatrix}\leq \frac{\pi}{2}\\ 0, \begin{vmatrix} x \end{vmatrix}> \frac{\pi}{2} \end{matrix}\right.$

Собственно, начал разбираться, понял смысл преобразования (разложение функции на составляющие), нашёл формулу:
$f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ixy}dx$

Но дальше что-то не идёт - примеров решений в книгах и Интернете кот наплакал, в основном описывается именно прикладное использование, а не математическое решение.

Нужен толчок для решения, в каком направлении вообще двигать? Правильно ли я понимаю, что для решения нужно составить сумму двух интегралов (для $\cos x$ и $0$)?

[ИСН]

Выходит, что так.

[Someone]

XpucToc в сообщении #1193082 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что для решения нужно составить сумму двух интегралов (для $\cos x$ и $0$)?

В общем, правильно. только не двух, а трёх, и не для косинуса и нуля, а для трёх разных промежутков.

[XpucToc]

Someone в сообщении #1193084 писал(а):

для трёх разных промежутков

Таких?
$(-\infty; \frac{-\pi}{2}]\cup (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\cup (\frac{\pi}{2};+\infty)$

[ИСН]

Таких, таких. Теперь - от чего именно интеграл?

[Someone]

Таких. Только к расстановке круглых и квадратных скобок въедливый преподаватель может придраться. Посмотрите внимательнее на условие.

P.S. Два совета по набору формул.
1). Такие формулы проще набираются с помощью окружения cases.
2). "Красивые" знаки неравенства кодируются командами \leqslant и \reqslant: $\leqslant\geqslant$.

[XpucToc]

ИСН в сообщении #1193089 писал(а):

Теперь - от чего именно интеграл?

Только сильно за мои выкладки не пинайте, иду вслепую.

Думаю, это можно сравнить с односторонними пределами, первый интеграл должен быть с областью интегрирования $(-\infty; \frac{-\pi}{2}]$:
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\infty}\cos x dx$ - не уверен, что правильно расставил диапазоны интегрирования.
Третий интеграл:
$\int_{\frac{\pi}{2}}^{+\infty}0dx$

А второй, возможно, будет либо суммой, либо разностью первого и третьего. Что думаете?

[Someone]

XpucToc в сообщении #1193095 писал(а):

Что думаете?

Думаем, что Вы, вместо того, чтобы разбираться, лепите чернуху, как сказал отрицательный персонаж детективного сериала, чрезвычайно популярного в СССР.

[XpucToc]

Someone в сообщении #1193096 писал(а):

XpucToc в сообщении #1193095 писал(а):

Что думаете?

Думаем, что Вы, вместо того, чтобы разбираться, лепите чернуху, как сказал отрицательный персонаж детективного сериала, чрезвычайно популярного в СССР.

Смешно :)
Если бы я хотя бы приблизительно знал, что искать, я бы сюда не написал. Логику решения примерно понял, пределы интегрирования нашёл правильно, а дальше не грех было бы и направить в нужную сторону.

[Someone]

Да Вы на условие задачи-то посмотрите повнимательнее. Там всё написано. В том числе — и на каком промежутке какую функцию надо брать.

[XpucToc]

Someone в сообщении #1193099 писал(а):

Да Вы на условие задачи-то посмотрите повнимательнее. Там всё написано. В том числе — и на каком промежутке какую функцию надо брать.

Смотрю и вижу только две функции, а какой тогда третий интеграл? Или он появляется в процессе решения?

[Someone]

А что касается пределов интегрирования, то они тоже расставляются не как попало, а от меньшего внизу к большему вверху. И надо, конечно, понимать, что больше: $-\frac{\pi}2$ или $-\infty$.

XpucToc в сообщении #1193100 писал(а):

какой тогда третий?

Там всё написано. Если Вы понимаете написанное.

[XpucToc]

Someone в сообщении #1193103 писал(а):

Там всё написано. Если Вы понимаете написанное.

Вам бы покультурнее как-то общаться, не знаю. Все когда-то с чего-то начинали, а едкость и снобизм по отношению к человеку, который сам искренне пытается понять тему, выглядят, по меньшей мере, некрасиво.

В общем, я вижу функцию, которая состоит из трёх частей - прямой линии ($x=0$), кусочка косинуса (в обозначенном мной диапазоне) и снова прямой линии. То есть имеют место функции:
$f(x)=\left\{\begin{matrix} 0, x \leqslant -\frac{\pi}{2} \\ \cos x, -\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\\ 0, x > \frac{\pi}{2} \end{matrix}\right.$
Получается, будет сумма трёх интегралов, два из которых нулевые? И в итоге, аки горец, останется только один?

[Someone]

XpucToc в сообщении #1193109 писал(а):

будет сумма трёх интегралов, два из которых нулевые?

Да.

P.S. И всё-таки окружение cases проще:

$$f(x)=\begin{cases}0\text{, если }x<-\frac{\pi}2,\\ \cos x\text{, если }-\frac{\pi}2\leqslant x\leqslant\frac{\pi}2,\\ 0\text{, если }x>\frac{\pi}2.\end{cases}$$

И выглядит красивее.

[XpucToc]

Someone в сообщении #1193114 писал(а):

Да.

Cases осилю чуть позже.

Половина дела сделана, в итоге получитлось следующее:
$f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos xe^{-ixy}dx$
Но тут у меня другая непонятка. $i$ - это мнимая единица, это понятно; $x$ - это просто икс, аргумент функции. А что тогда $y$? Как к нему относиться при интегрировании - как к константе?