2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Максимальная гравитация
Сообщение16.02.2017, 04:52 


09/10/15
792
San Jose, USA
Пусть у нас есть вещество постоянной плотности объемом $V$.
Пусть у нас задана точка $P=(0,0,0)$
Как надо распределить вещество в пространстве, чтобы гравитация в точке $P$ была максимальной в положительном направлении $x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная гравитация
Сообщение16.02.2017, 06:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19376
Уфа
Надо заполнить веществом некую область такого объёма, ограниченную одной из поверхностей $xr^{-3} = \mathrm{const}$, $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Обоснование: это поверхности уровня компоненты $g_x$ ускорения свободного падения в интересующей точке точечной массы, помещённой в начало координат (ну или наоборот, как нас интересует). На счастье эти поверхности ограничивают множества конечных объёмов, притом для каждого объёма есть ровно две, дающие соответствующее множество — «левое» и «правое», из которых мы выберем второе по условию.

-- Чт фев 16, 2017 08:11:10 --

Я только не знаю, что это за поверхности такие тыквообразные, есть ли у них какое-то имя и интересные свойства — получил о них представление в СКА, а не вручную.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная гравитация
Сообщение16.02.2017, 07:04 


09/10/15
792
San Jose, USA
Уравнение поверхности вращения $xr^{-3} = \mathrm{const}$
действительно верное. Я только не понял вашего обоснования.
На самом деле эта поверхность описывается более конкретным уравнением $F(x,y)=0$
И даже поддается численному сравнению с формой шара того же объема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная гравитация
Сообщение16.02.2017, 10:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19376
Уфа
fred1996 в сообщении #1193070 писал(а):
Уравнение поверхности вращения $xr^{-3} = \mathrm{const}$
действительно верное. Я только не понял вашего обоснования.
Подробнее: любая точка на одной и той же линии уровня этой функции будет давать одинаковое значение $g_x$, так что чтобы добиться его максимально рассредоточенным распределением вещества, надо равномерно заполнить всю эту линию уровня. Но дано вещество только с объёмной плотностью, а не с линейной, так что надо скомбинировать какую-то кучу линий уровня, чтобы полученное множество имело ненулевой объём. У нас получается набор всевозможных распределений вещества, среди которых остаётся выбрать то, в которое входят линии наибольшего уровня, и это значит, что надо набрать их от какого-то конечного $g_x = a$ до $g_x = +\infty$ (достигающегося в $\mathbf r=\mathbf0$). Получающаяся область ограничена линией уровня именно $g_x = a$.

Тут куча всего, конечно, вопит о математической строгости, но раз раздел физический… :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная гравитация
Сообщение16.02.2017, 10:43 


09/10/15
792
San Jose, USA
Принимается.
Но все-же с уравнением $xr^-^3=\operatorname{const}$
Непонятно как работать.
Для начала предлагаю вам переписать его в более "шарообразном" виде: $r^3=b^2x$
Ну и потом бесконечных ускорений у нас не получится.
Вещество имеет постоянную конечную объемную плотность. Никаких точечных или линейных плотностей.
А вот шарообразную форму уже можно и проанализировать. Сосчитать, например, объем, пределы по $x$ и по $y$

Я эту задачку подсмотрел у David Morin. Classical Mechanics. В разделе Exercises. Там где задачки даются без решений и ответов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная гравитация
Сообщение16.02.2017, 11:09 


05/09/16
1064
Хоть бы картинку, что ли, запостили как эта "тыква" выглядит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная гравитация
Сообщение16.02.2017, 11:45 


09/10/15
792
San Jose, USA
wrest в сообщении #1193117 писал(а):
Хоть бы картинку, что ли, запостили как эта "тыква" выглядит.

Ну а самому то слабо сосчитать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная гравитация
Сообщение16.02.2017, 12:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19376
Уфа
fred1996 в сообщении #1193113 писал(а):
Ну и потом бесконечных ускорений у нас не получится.
Вещество имеет постоянную конечную объемную плотность. Никаких точечных или линейных плотностей.
Согласен, разумеется, раз объём конечный ненулевой и плотность — константа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная гравитация
Сообщение16.02.2017, 13:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62053
Задачка была в "Кванте", и даже поверхность там эту нарисовали. В общем, шар, приплюснутый полуплоскостью, на которой находится интересующая нас точка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная гравитация
Сообщение16.02.2017, 18:10 
Аватара пользователя


14/11/12
1077
Россия, Нижний Новгород
Wolfram Alpha RegionPlot[(x^2 +y^2)^(3/2)==x, {x,0,1}, {y, -1, 1}]

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная гравитация
Сообщение16.02.2017, 20:20 


09/10/15
792
San Jose, USA

(расчет параметров фигуры тут)

$r^3=b^2x$
Пусть $b=1$
Тогда имеем:
$r^2=x^\frac{2}{3}$
Или:
$y^2=x^\frac{2}{3}-x^2$
Нетрудно видеть, что эта функция ограничена точками 0 и 1 в которых имеет производную $\infty$
Из ее вида просто находится ее объем:
V = $\int\limits_{0}^{1}\pi y^2dx=\pi\int\limits_{0}^{1}(x^\frac{2}{3}-x^2)dx$=$\frac{4\pi}{15}$
Учитывая, что диаметр капли объема V равен $D=(6V/\pi)^\frac{1}{3}=(8/5)^\frac{1}{3}\approx 1.17$
Далее, приравняв производную нулю, получим максимум для $y$ будет в точке $3^-^\frac{3}{4}\approx0.44$ и равен $(4/27)^\frac{1}{3}\approx0.62$ то есть вертикальный диаметр равен 1.24
Окончательно получаем, если взять каплю диаметром 1, то ее надо сплюснуть в направлении $x$ с к-том 1/1.17=0.85 и растянуть по $y$ с к-том 1.24/1.17 = 1.06.
"Центр" этой фигуры вращения будет смещен на 0.06 от ее горизонтального диаметра влево.
А картинку можно посмотреть в предыдущем сообщении

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная гравитация
Сообщение24.02.2017, 22:10 


05/02/11
970
Москва
Исходим из того, что произвольный беск. малый кусочек этой массы, перемещаясь по оптимальной поверхности тела,
должен создавать одну и ту же горизонтальную составляющую силы тяготения:$$\frac{\cos\alpha}{r^2(\alpha)}=\operatorname{const}=\frac1{a^2}$$$$r(\alpha)=a\sqrt{\cos(\alpha)}$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, profrotter, Jnrty, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group