Обыкновенная дробь с минимальным знаменателем

[Gagarin1968]

Здраствуйте. Ещё одно задание из курсовой по теории чисел.
Указать обыкновенную неправильную дробь с наименьшим знаменателем такую, которая располагается между $\displaystyle \frac{130}{41}$ и $\displaystyle \frac{131}{42}$.
Задание несколько необычно, и я в затруднении.
Я понимаю так: надо отыскать дробь $\displaystyle \frac{a}{b}$ такую, что $\displaystyle \frac{131}{42} <\frac{a}{b} <\frac{130}{41}$ , причём $b \in \mathbb{N}$ было бы минимальным.
Попробовал преобразовать двойное неравенство:

$\displaystyle \frac{42}{131} >\frac{b}{a} > \frac{41}{130}$

$\displaystyle \frac{42a}{131} >b > \frac{41a}{130}$

И что дальше? Как минимизировать $b$ ?

[Someone]

Выделим целую часть: $3+\frac 5{42}<\frac ab<3+\frac 7{41}$.
Вычтем её: $\frac 5{42}<\frac{a-3b}b<\frac7{41}$.
Для удобства обозначим $a_1=a-3b$: $\frac 5{42}<\frac{a_1}b<\frac 7{41}$.
Перевернём дроби: $\frac{41}7<\frac b{a_1}<\frac{42}5$.
Продолжаем, пока между левой и правой дробями не обнаружится целое число.

Потом, конечно, надо как-то обосновать, почему полученная дробь имеет наименьший знаменатель.

[VAL]

А можно поступить тупо, но эффективно и надежно:
$\frac{131}{42}\approx3.119, \frac{130}{41}\approx3.170$.
Ясно, что целого сила между ними нет. С половинкой - тоже...
Продолжив (совсем немного) в том же духе, найдем нужную дробь.
И минимальность будет гарантирована

PS: Правда, не ясно, причем тут теория чисел. Скорее, арифметика за 4-й класс

[arseniiv]

Вроде можно пальнуть непрерывными дробями и всё.

[slavav]

arseniiv в сообщении #1192360 писал(а):

Вроде можно пальнуть непрерывными дробями и всё.

Что и предложил Someone.

[Gagarin1968]

Someone в сообщении #1192320 писал(а):

Продолжаем, пока между левой и правой дробями не обнаружится целое число.

Someone, спасибо за подсказку. Откуда такой метод? Где можно почитать о нём?
Короче, после нескольких повторов я пришел к неравенству $5<b<7$, откуда $b=6$, и искомая дробь равна $\displaystyle \frac {19}{6}$. Это число попадает в заданный интервал.
Найти дробь - я нашёл. Но теперь вопрос Как мне доказать, что $b=6$ - наименьший натуральный знаменатель? Полный перебор всех $0<b<6$ является ли достаточно приемлемым обоснованием? Или можно как-то построже?

[Cash]

Gagarin1968 в сообщении #1192428 писал(а):

Полный перебор всех $0<b<6$ является ли достаточно приемлемым обоснованием? Или можно как-то построже?

По строгости с полным перебором ничто не сравнится.

[VAL]

Нашел промежуточную дробь со знаменателем поменьше: $\frac{\pi}1$

[Gagarin1968]

VAL в сообщении #1192435 писал(а):

Нашел промежуточную дробь со знаменателем поменьше: $\frac{\pi}1$

Не, VAL, не пойдёт. Дробь-то требуется обыкновенная.

[Someone]

Gagarin1968 в сообщении #1192428 писал(а):

Короче, после нескольких повторов я пришел к неравенству $5<b<7$, откуда $b=6$

Хм. Последнее неравенство, которое у меня получилось, без всяких повторов даёт $5\frac 67<\frac b{a_1}<8\frac 25$. При $a_1=1$ возможные значения $b$ есть $6,7,8$, при $a_1\geqslant 2$ значения $b$ не меньше $12$. Наименьшее $b=6$.

Gagarin1968 в сообщении #1192428 писал(а):

Полный перебор всех $0<b<6$ является ли достаточно приемлемым обоснованием?

Уж строже полной индивидуальной проверки всех возможных значений придумать ничего нельзя. Ну, разве что довести проверку до аксиом математической логики и арифметики.

[arseniiv]

slavav в сообщении #1192374 писал(а):

Что и предложил Someone.

Ну, я подумал, если произнести магические слова явно, то, может, кому-то, кто их нечасто слышал, это чем-то поможет.