2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 На доске написаны числа, стираем a и b заменяем на a+b+1.
Сообщение13.02.2017, 01:39 


14/09/16
27
Попросили помочь с задачей.
Условие:
На доске написаны числа $1,2,3....2017$. За одну операцию разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$ и записать вместо них число $a+b+1$. После некоторого количества таких операций на доске останется одно число. Какое?

Мои рассуждения сводятся к тому что
1) складываем числа, стоящие слева и справа на одинаковом "месте" от числа $1008$
Тогда
$1007+1009+1=2017$

$1006+1010+1=2017$

$1005+1011+1=2017$

$...................................$

$1+2015+1=2017$

В итоге получаем

$1008, 2016, 2017(1008$ раз)

дальше застрял, так как надо решить быстро, и времени до утра. Может и сам решу, но задача показалась интересной.

 Профиль  
                  
 
 Re: На доске написаны числа, стираем a и b заменяем на a+b+1.
Сообщение13.02.2017, 01:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12730
Решите задачу для двух чисел $(1,2)$, потом для трёх $(1,2,3)$, потом придёт ясность.

 Профиль  
                  
 
 Re: На доске написаны числа, стираем a и b заменяем на a+b+1.
Сообщение13.02.2017, 02:14 
Заслуженный участник


10/01/16
1252
Ivan 09
Ваше решение - ну, после того, как Вы его доведете до конца -
на реальной олимпиаде будет оценено в 1 балл (из 7).
Потому как главная проблема в задаче - показать, что от порядка действий - ну, какие числа в каком порядке слаживать - результат не зависит... И вот тогда уж ваш способ будет засчитан, и даст правильный ответ.
А идея решения таких задач называется "инвариант". То бишь, хорошо бы найти такую весчь, которая в процессе действий не меняется....
Может, это "сумма всех чисел плюс количество чисел" ?

 Профиль  
                  
 
 Re: На доске написаны числа, стираем a и b заменяем на a+b+1.
Сообщение13.02.2017, 02:25 


14/09/16
27
gris
DeBill
Спасибо
думаю через некоторое время приду к ответу.
уже он близок, но чего то не хватает.
может уже ночь сказывается

 Профиль  
                  
 
 Re: На доске написаны числа, стираем a и b заменяем на a+b+1.
Сообщение13.02.2017, 03:28 


14/09/16
27
у меня получилось
$x-2016-2015-....-3=4$
Откуда уже $x$ находим.
правда я не уверен на счет цифр на месте $3$ и $4$
но уверен что там будут они маленькие.

 Профиль  
                  
 
 Re: На доске написаны числа, стираем a и b заменяем на a+b+1.
Сообщение13.02.2017, 04:12 
Аватара пользователя


07/01/15
632

(Оффтоп)

Ivan 09 в сообщении #1192178 писал(а):
может уже ночь сказывается

Надо выспаться, иначе бОшка не будет варить. Это я Вам как студент говорю.

 Профиль  
                  
 
 Re: На доске написаны числа, стираем a и b заменяем на a+b+1.
Сообщение13.02.2017, 04:39 


12/12/16
98
Вот здесь DeBill дал Вам идею для совсем уж наглядного решения - только в Вашей задаче можно ещё упростить. Представте что у Вас есть "удочка" с $n (=2017)$ делений. Привяжем к каждому делению грузик/гирьку с массой равной номеру деления. Забудем на секунду про $+1$ в условии: $(a+b)$ по сути означает что Вам дали "закон сохранения общей массы удочки" или совсем уж просто - "закон сохранения "веса" удочки". Ссыпаем все гирьки на весы - стрелка встанет на каком-то делении. Теперь - какие бы две гирьки Вы не заменили одной эквивалентной по массе - стрелка будет показывать "туда же" ...

Теперь вспоминаем про $+1$ - каждый раз когда мы заменяем две гирьки одной (той же массы) мы ещё кидаем на весы одну гирьку "стандартной" массы равной $1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: На доске написаны числа, стираем a и b заменяем на a+b+1.
Сообщение13.02.2017, 07:44 


11/08/16
156
Заметьте, что у вас каждый раз сумма чисел увеличивается на 1. Сколько будет операций? Какая будет сумма чисел? В виде какого числа представленна эта сумма?

 Профиль  
                  
 
 Re: На доске написаны числа, стираем a и b заменяем на a+b+1.
Сообщение13.02.2017, 09:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12730
Я так размышлял над задачей. Представим себе, что у нас 2017 коробочек. В первой один красный шарик, во второй два красных шарика и так далее. Берём какую-то коробочку, высыпаем её в другую и пустую выкидываем. И добавляем ещё в высыпку один синий шарик из ведра. Ну и так до конца. Сколько в конце получится красных и синих шариков? Выкинул уже 2000 коробочек и проснулся :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: На доске написаны числа, стираем a и b заменяем на a+b+1.
Сообщение13.02.2017, 11:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4571
Нов-ск
На доске написаны числа $1,2,3....N$. За одну операцию разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$ и записать вместо них число $a+b-x$, где $x$ - количество чисел на доске перед стиранием $a$ и $b$. После некоторого количества таких операций на доске останется одно число. Какое?

 Профиль  
                  
 
 Re: На доске написаны числа, стираем a и b заменяем на a+b+1.
Сообщение13.02.2017, 11:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4203
Решил через инвариант. Ответ — явный намёк, что есть более красивое решение.

UPD: Я имею в виду задачу TOTAL, конечно. В отличие от задачи ТС, где инвариант простой и очевидный, в задаче TOTAL
инвариант хитрее ответа, почему я и думаю, что должен быть более эффектный способ решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: На доске написаны числа, стираем a и b заменяем на a+b+1.
Сообщение13.02.2017, 17:40 
Заслуженный участник


10/01/16
1252
Инвариантом в задаче TOTAL является число "1" ! :D
Ну, действительно, ну оно ж ну никак не меняется...
Значить - инвариант!

 Профиль  
                  
 
 Re: На доске написаны числа, стираем a и b заменяем на a+b+1.
Сообщение13.02.2017, 18:45 


14/09/16
27
Почему-то никто не прокомментировал мой вариант выше?!
у меня получилось нечто похожее, только по-другому
$n=2 \sim 4$
Может моя запись не совсем корректна, но имеется ввиду что при $n=2  (1,2)$ останется число $4$
$n=3 \sim 8$
$n=4 \sim 13$
то есть
число которое остается в итоге, можно получить так
$m\sim n+k+1$
где
$m$-число, которое останется в итоге
$n$-номер
$k$- число которое, останется на этапе $n-1$
теперь запишем
$n=2 \sim 4$

$n=3 \sim 8$

$n=4 \sim 13$

$...........................................$

$n=2016 \sim x-2018$

$n=2017 \sim x$
Откуда
$x-2018-2017-...-3=4$

Я на правильном пути?

 Профиль  
                  
 
 Re: На доске написаны числа, стираем a и b заменяем на a+b+1.
Сообщение13.02.2017, 21:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19754
Уфа
Ivan 09 в сообщении #1192404 писал(а):
Может моя запись не совсем корректна, но имеется ввиду что при $n=2  (1,2)$ останется число $4$
Это всё прекрасно, но, как уже сообщалось, что вы будете делать, если числа вычёркивать в другом порядке? Перебирать все 2017! способов это сделать?

-- Пн фев 13, 2017 23:36:29 --

Тут все советы, разумеется, хороши, но к этому вам, возможно, стоит прислушаться в первую очередь:
sa233091 в сообщении #1192207 писал(а):
Заметьте, что у вас каждый раз сумма чисел увеличивается на 1. Сколько будет операций?

 Профиль  
                  
 
 Re: На доске написаны числа, стираем a и b заменяем на a+b+1.
Сообщение13.02.2017, 22:20 


14/09/16
27
arseniiv
спасибо
операций будет $n-1$ то есть $2016$, если я правильно понимаю

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group