2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать неравенство
Сообщение12.02.2017, 14:41 


11/11/05
17
Доказать, что если $\;a>b>1$, то ${a^b}^a>{b^a}^b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение13.02.2017, 07:48 


11/08/16
144
Попробуйте прологорифмировать нер-во

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение16.02.2017, 18:07 


11/08/16
144
$\[
a^{b^a }  > b^{a^b }  \Leftrightarrow a\ln b + \ln \ln a > b\ln a + \ln \ln b
\]$
1 случай (если $\[a\ln b > b\ln a\]$): нер-во очевидно
2 случай (если $\[a\ln b < b\ln a\]$):
$\[
\begin{array}{l}
 a\ln b < b\ln a, \\ 
 \ln a + \ln \ln b < \ln b + \ln \ln a, \\ 
 \ln \ln a - \ln \ln b > \ln a - \ln b, \\ 
 \end{array}
\]$
т.к. $\[
F(x) = \frac{{\ln x}}{{x - 1}}
\]$ убывает на $\[
(1;\infty )
\]$, то $\[
\frac{{\ln (a)}}{{a - 1}} < \frac{{\ln (b)}}{{b - 1}}
\]$,
следовательно $\[
\ln a - \ln b > b\ln a - a\ln b
\]$
$\[
\begin{array}{l}
 \ln \ln a - \ln \ln b > \ln a - \ln b > b\ln a - a\ln b, \\ 
 \ln \ln a + a\ln b > \ln \ln b + b\ln a \\ 
 \end{array}
\]$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Rak so dna


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group