2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать неравенство
Сообщение12.02.2017, 14:41 


11/11/05
17
Доказать, что если $\;a>b>1$, то ${a^b}^a>{b^a}^b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение13.02.2017, 07:48 


11/08/16
164
Попробуйте прологорифмировать нер-во

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение16.02.2017, 18:07 


11/08/16
164
$\[
a^{b^a }  > b^{a^b }  \Leftrightarrow a\ln b + \ln \ln a > b\ln a + \ln \ln b
\]$
1 случай (если $\[a\ln b > b\ln a\]$): нер-во очевидно
2 случай (если $\[a\ln b < b\ln a\]$):
$\[
\begin{array}{l}
 a\ln b < b\ln a, \\ 
 \ln a + \ln \ln b < \ln b + \ln \ln a, \\ 
 \ln \ln a - \ln \ln b > \ln a - \ln b, \\ 
 \end{array}
\]$
т.к. $\[
F(x) = \frac{{\ln x}}{{x - 1}}
\]$ убывает на $\[
(1;\infty )
\]$, то $\[
\frac{{\ln (a)}}{{a - 1}} < \frac{{\ln (b)}}{{b - 1}}
\]$,
следовательно $\[
\ln a - \ln b > b\ln a - a\ln b
\]$
$\[
\begin{array}{l}
 \ln \ln a - \ln \ln b > \ln a - \ln b > b\ln a - a\ln b, \\ 
 \ln \ln a + a\ln b > \ln \ln b + b\ln a \\ 
 \end{array}
\]$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group