2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Квантование момента
Сообщение10.02.2017, 17:24 


10/02/17
11
Пусть есть система,находящаяся в состоянии с определенным моментом импульса(волновая функция-собственная функция соответствующего оператора). Вводя сферические координаты можно получить, что эта фунция является сферической функцией. Кроме того эта функция будет являться собственной функцией для проекции момента на ось z, т.о. на ось z проекция импульса тоже принимает определенное значение. Но сделав циклическую перестановку координат,можно видеть, что проекция на другую ось будет принимать определенное значение. Это кажеться странным, ведь от простого переобозначения поменялась вероятность проекции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантование момента
Сообщение10.02.2017, 17:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
salerman в сообщении #1191487 писал(а):
Но сделав циклическую перестановку координат,можно видеть, что проекция на другую ось будет принимать определенное значение.

Каких именно координат? $\{x,y,z \} \rightarrow \{z,x,y \}$ или $\{r, \varphi, \theta \} \rightarrow \{ \theta, r, \varphi \}$ :lol: ?

Ну а если серьёзно, то циклическая перестановка $\{x,y,z \} \rightarrow \{z,x,y \}$ может быть представлена в виде ортогонального преобразования, с помощью которого необходимо преобразовать как волновые функции, так и операторы. Так что попробуйте честно расписать результат его действия, скажем, через сохранение интеграла $\langle JM | \hat{J}_z | JM \rangle$, где $J$ -- полное значение момента, а $M$ -- его проекция на ось $z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантование момента
Сообщение10.02.2017, 17:47 


10/02/17
11
Поменять декартовы.Но вместе с тем и сферические поменяются, ось z просто в x перейдет, но мы по прежнему ее будем в качестве полярной брать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантование момента
Сообщение10.02.2017, 17:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
salerman в сообщении #1191493 писал(а):
Поменять декартовы.Но вместе с тем и сферические поменяются, ось z просто в x перейдет, но мы по прежнему ее будем в качестве полярной брать.

грубо говоря, а с операторами $\hat{J}^2$ и $\hat{J}_\alpha, \ \alpha=x,y,z$ при перестановке координат ничего не происходит? :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантование момента
Сообщение10.02.2017, 18:06 


10/02/17
11
Мне просто не важно как преобразовалась волновая функция, я просто полагаю что она осталась собственной фунцией квадрата момента(т.о. квадрат момента по прежнему имеет определенное значение). Но теперь уже полярная ось направлена не в ту сторону, значит и проекция которая имеет определенное значение не та.

-- 10.02.2017, 17:08 --

madschumacher в сообщении #1191496 писал(а):
salerman в сообщении #1191493 писал(а):
Поменять декартовы.Но вместе с тем и сферические поменяются, ось z просто в x перейдет, но мы по прежнему ее будем в качестве полярной брать.

грубо говоря, а с операторами $\hat{J}^2$ и $\hat{J}_\alpha, \ \alpha=x,y,z$ при перестановке координат ничего не происходит? :wink:

Да операторы поменяются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантование момента
Сообщение10.02.2017, 18:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
Суть: у Вас выбрано направление $\mathbf{n}$, и для оператора $\hat{J}_\mathbf{n} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \varphi}$, где $\varphi$ -- угол поворота вокруг $\mathbf{n}$, Ваша волновая функция $Y_{JM}$ является собственной. Ну так вот при ортогональных преобразованиях координат у Вас функция останется собственной для $\hat{J}_\mathbf{n}$, а чтобы выяснить какие буковки изменятся и что конкретно в обозначениях должно поменяться Вам и нужно аккуратно всё расписать. А произнесение голословных рассуждений тут малополезно. :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантование момента
Сообщение10.02.2017, 18:34 


10/02/17
11
Хорошо, скажем у меня была полярная ось z. Теперь я выбрал другую полярную ось-x.
Изменилась ли от этого волновая функция(собственная функция квадрата момента),записанная в угловых координатах(только отсчитываются от другой оси)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантование момента
Сообщение10.02.2017, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Квадрат момента имеет вырожденные с.з., с.з. $n(n+1)$ отвечает $(2n+1)$ мерное пространство с.з.

Если выбрать ось z , то поскольку $J_z$ и $J^2$ коммутируют, то это пространство распадается в прямую сумму с.п. оператора $J_z$. Однако $J_z$ и $J_x$ не коммутируют, и соответствующие с.ф. различны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантование момента
Сообщение10.02.2017, 18:56 


10/02/17
11
Red_Herring в сообщении #1191511 писал(а):
Квадрат момента имеет вырожденные с.з., с.з. $n(n+1)$ отвечает $(2n+1)$ мерное пространство с.з.

Если выбрать ось z , то поскольку $J_z$ и $J^2$ коммутируют, то это пространство распадается в прямую сумму с.п. оператора $J_z$. Однако $J_z$ и $J_x$ не коммутируют, и соответствующие с.ф. различны.

Да, это понятно, просто в голове не укладывается, что именно проекция на z имеет определенное значение, если мы другую ось выберем полярной(будем по от другой оси координаты отсчитывать), то вроде наша сферическая функция не поменяется,ведь система по прежнему в состоянии с определенным значением квадрата момента, т.о. и и дифференциальное уравнение на собственную функцию то же. Но теперь уже эта функция стала собственной функцией другой проекции(новой полярной оси)? Как это произошло?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантование момента
Сообщение10.02.2017, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
salerman в сообщении #1191513 писал(а):
если мы другую ось выберем полярной(будем по от другой оси координаты отсчитывать), то вроде наша сферическая функция не поменяется,ведь система по прежнему в состоянии с определенным значением квадрата момента, т.о. и и дифференциальное уравнение на собственную функцию то же. Но теперь уже эта функция стала собственной функцией другой проекции(новой полярной оси)?

Нет, не так. Если волновая функция была собственной для $\hat{J}_z$, то она и останется собственной для него же. Если Вы захотите выразить её в других сферических координатах (скажем, относительно оси $x$), то у Вас получится линейная комбинация функций $Y_{JM}$ в новых координатах (но, правда, при фиксированном том же $J$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантование момента
Сообщение10.02.2017, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Ещё раз: собственные значения вырождены. Поэтому там много собственных функций. И много способов выбрать ортонормированный базис в собственном пространстве. И выбирая полярную ось, мы выбираем тем самым этот базис. Выберите другую ось (неважно, как назвать) Вы выберете другой базис.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантование момента
Сообщение10.02.2017, 19:11 


10/02/17
11
madschumacher в сообщении #1191516 писал(а):
Нет, не так. Если волновая функция была собственной для $\hat{J}_z$, то она и останется собственной для него же. Если Вы захотите выразить её в других сферических координатах (скажем, относительно оси $x$), то у Вас получится линейная комбинация функций $Y_{JM}$ в новых координатах (но, правда, при фиксированном том же $J$).

Ага,то есть дифференциальное уравнение на поиск собственной функции квадрата момента то же, но вот решение-линейная комбинация функций $Y_{JM}$ с разными M (а не просто одно слагаемое как для оси z). И применяя $\hat{J}_x$ мы уже не получим собственную функцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантование момента
Сообщение10.02.2017, 19:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
salerman в сообщении #1191521 писал(а):
И применяя $\hat{J}_x$ мы уже не получим собственную функцию.
Получим, но это будет с.ф. квадрата момента и $J_x$, но не $J_z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантование момента
Сообщение10.02.2017, 19:25 


10/02/17
11
Red_Herring в сообщении #1191522 писал(а):
Получим, но это будет с.ф. квадрата момента и $J_x$, но не $J_z$.

Я имею в виду случай,когда сами координаты не меняем,а сферические координаты от другой оси отсчитуем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантование момента
Сообщение10.02.2017, 19:54 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
salerman в сообщении #1191487 писал(а):
Пусть есть система,находящаяся в состоянии с определенным моментом импульса(волновая функция-собственная функция соответствующего оператора). Вводя сферические координаты можно получить, что эта фунция является сферической функцией. Кроме того эта функция будет являться собственной функцией для проекции момента на ось z, т.о. на ось z проекция импульса тоже принимает определенное значение. Но сделав циклическую перестановку координат,можно видеть, что проекция на другую ось будет принимать определенное значение.


Мне кажется, что в своих рассуждениях Вы упускаете 2 вещи:
1) Если у вас задано определённое значение проекции на конкретную ось, то направление этой оси выделено в системе, оси уже не равноправны и просто написав другой индекс у оператора проекции момента мы не получим правильное решение. Как Вам отвечали в самом начале, замена координат изменит вид и волновой функции, и операторов, и исходного дифференциального уравнения.
2) Состояние физической системы не зависит от того, какую систему координат используете для её описания - декартову или сферическую, не зависит от того, какими символами обозначаете оси.

Как бы вы не играли с обозначениями, физически направление оси, значение проекции момента импульса на которую имеет определённое значение, не изменится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group