Вычитание целых чисел

maximav · 19/03/15 291

В догонку к теме topic114292-15.html

Вопрос об определении вычитания, то есть фактически об введении обратного элемента в полугруппе по операции $+$ . Точнее пусть элементы множества образуются конкатенацией единиц $(\{111\} \cup \{11\})=: (3+2)$ . Предположим, что мы формализовали эту схему, использованием первых (1,2,...6-я?) аксиом ZFC. Насколько я понимаю, достаточно тех, кроме последних аксиом, типа подстановок и т.п. (например, будем ссылаться на список по Куратовскому). Могу ошибиться. Но это здесь пока не важно. Полугруппу имеем. Я так понимаю, что введение обратного $(-a)$ невозможно без введения внешних предикативных функций и последних аксиом. То есть стандартные булевы операции на множествах (объединения и т.д.) здесь не прокатят, их не достаточно (?). Если так, то достаточно ли ввести упомянутую функцию вида: пусть $x$ есть решение уравнения $a = x+b$ ? Все значки лежат в полугруппе (натуральных чисел). Хотел бы прояснения и детали в данном вопросе.

PS. Кстати, а какие аксиомы их ZFC не нужны в использовании, если строим сложение положительных чисел?

Someone · 23/07/05 17973 Москва

Ну, наверное, надо взять учебник по теории множеств и разобраться, как строятся натуральные числа.

К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970.

maximav · 19/03/15 291

Вы бы лучше по-существу написали, тем более, что для вас это наверняка не проблема. Иначе такими ответами можно отписываться на 99% форумным вопросов (например, см. ЛЛ-2, стр. XXX). А Куратовского и других я хорошо знаю. То, что мне надо тоже внятно описал; к тому же нужны подробности.

knizhnik · 11/08/16 ∞ 312

maximav в сообщении #1190474 писал(а):

элементы множества образуются конкатенацией единиц $(\{111\} \cup \{11\})=: (3+2)$ .

Конкатенация - это операция над словами, а не над множествами. А что такое $111$ ? Тройка в единичной системе счисления? Тогда зачем скобки фигурные? $\{111\} \cup \{11\}=\{111,11\}$ . Если так определять сложение, то получится абсурд, вроде $3+3+2 \neq 2+2+2+2$ .

maximav в сообщении #1190496 писал(а):

То, что мне надо тоже внятно описал; к тому же нужны подробности.

Подробности действительно нужны, поскольку описание ваше абсолютно невнятно.

maximav · 19/03/15 291

Хорошо, если коротко, то можно стартануть просто с натуральных чисел, наделенных сложением $+$ . Имеем (абстрактную) полугруппу. Здесь мои описания про единички не существенны. Теперь я интересуюсь, как поаккуратнее из этой полугруппы сделать группу, оперируя только необходимыми аксиомами из ZFC. Это наверняка где-то стандартно пройдено. Вопрос именно какие аксиомы и как? Я так предполагаю, что это последние по счету (Куратовский), где внешние предикаты подключаются. То есть первые по счету аксиомы (объединения и т.п.) для построения группы (обратного элемента) здесь не помогут...? Теперь 2-я часть, тоже предположительная, но более мотивировочная, что мне надо. Могу ли я теперь не тупо стартовать с уже аксиоматически объявленной полугруппы, а тоже ее строить, указав те ZFC-аксиомы, что используются и те, что нет. Могу ли я сделать это схемой с приклеиванием единичек (просто образуемые символы) и используя объединение множеств. То есть мое сложение $+$ , грубо говоря есть эквивалент объединения. Я, пардон, не корректно здесь отписался. Надо строить объединение непересекающихся множеств (мое некорректное склеивание единиц), а числа - их мощности. Мотивировка в том, что минус " $-$ " нельзя сделать объединениями-вычитаниями множеств и... (?) надо вовлекать другие ZFC-аксиомы. Забыл добавить, булева группа по симметрической разности мне не нужна; она к числам ни к чему. Можно ли найти ответы в таком видении на задачу.

Xaositect · 06/10/08 6422

Если есть абстрактная полугруппа $( M, + )$ , то можно определить отношение $\{(( a, b ), x ) \mid b + x = a\}$ , кроме аксиомы выделения тут ничего не нужно. Для каких-то полугрупп можно доказать, что это будет частичная функция, и если Вас интересуют натуральные числа, то уже нужны детали, как Вы в ZFC определяете, что абстрактная полугруппа изоморфна $\mathbb{N}$ .

maximav · 19/03/15 291

Это уже лучше. Я не совсем понял про "частичную функцию" и "изоморфна". Получается что? Что недостаточно взять модель "натуральной полугруппы $\mathbb{N}$ " и ее наращивать до группы? Как бы здесь разжевать подробнее. Я же вроде только моделями и пытаюсь оперировать ... (?) На самом деле мне нужны не числа, а другие конструкции полугрупп/групп. Я вопрос специально упростил к числам. Но похоже, что в такой редукции могут быть подводные камни... (?)

knizhnik · 11/08/16 ∞ 312

maximav, обычно группы и полугруппы описываются с точностью до изоморфизма. Явными теоретико-множественными конструкциями как правило никто не пользуется. Однако попробуем: пусть у вас есть какая-то стандартная модель арифметики. Рассмотрим операцию $\omega$ , которая действует на числа следующим образом: $0 \stackrel{\omega}{\mapsto} 0$ , $1 \stackrel{\omega}{\mapsto} \{1\}$ , $2 \stackrel{\omega}{\mapsto} \{2\}$ , $3 \stackrel{\omega}{\mapsto} \{3\}$ , $\ldots$ Таким образом каждый элемент, кроме нуля, заключается в фигурные скобки. Пусть также $\{1\} \stackrel{\omega}{\mapsto} 1$ , $\{2\} \stackrel{\omega}{\mapsto} 2$ , $\{3\} \stackrel{\omega}{\mapsto} 3$ , $\ldots$ Пусть также в исходной модели справедливо утверждение $\forall x,y \in \mathbb{N} \ x \neq \{y\}$ , необходимое для однозначности нашего построения. Множество $\mathbb{Z}=\mathbb{N} \cup \{\omega(n) \mid n \in \mathbb{N} \}$ будем называть множеством целых чисел. Теперь нужно определить новую операцию $\oplus$ сложения целых чисел на основе старой операции $+$ сложения натуральных по некоторым естественным правилам вроде:
$\{n_1\} \oplus \{n_2\}= \{n_1+n_2\}$
$z \oplus \omega (z)=0$
Все это можно сделать очень подробно. Что мы тут используем из ZFC? Ничего, практически, кроме аксиомы пары, вернее взятия от элемента пары с самим собой: $x \mapsto \{x,x \}=\{x\}$ . И обратимости этой операции для всех пар, которые уже построены.
Наконец определяется вычитание: $z_1 - z_2 = z_1 \oplus \omega(z_2)$ . Даже не представляю, зачем кому-то все это могло бы пригодиться.

-- 07.02.2017, 06:46 --

maximav, а зачем вам все это нужно?

maximav · 19/03/15 291