2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Действие дифференциала $dx^i$
Сообщение05.02.2017, 21:11 


27/01/17
35
Здравствуйте!

Не могли бы вы мне объяснить? Почему действие дифференциала $dx^i<\overline{v}>$ сопоставляет каждому вектору $v \in R$ его $i$-ую координату $v^i$?

Это просто такая договорённость, или как? Что за этим всем стоит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие дифференциала $dx^i$
Сообщение05.02.2017, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
_Y_ в сообщении #1190080 писал(а):
Почему действие дифференциала $dx^i<\overline{v}>$ сопоставляет каждому вектору $v \in R$ его $i$-ую координату $v^i$?

Это не дифференциал, а т.н. базисная линейная форма. Смысл такой, что Вы рассматриваете касательное пространство к многообразию в данной точке. Вы можете ввести в этом пространстве базис $\{e_k\}$. Координаты этих векторов преобразуются при переходе к другому базису с помощью прямой матрицы перехода - похожим образом ведут себя частные производные, поэтому этот базис обычно обозначают $\frac{\partial}{\partial x^k}$ или даже короче $\partial_k$. У каждого линейного пространства есть дуальное - из линейных функционалов, заданных на данном линейном пространстве. В нём можно ввести свой базис $\{e^k\}$, полагая по определению, что $e^k(e_i)=\delta^k_i$. А базисные формы преобразуются, как контравариантные векторы, поэтому их обозначают $dx^k$.

Теперь смотрите. Пусть $v=v^k\partial_k$, тогда
$$dx^i(v)=dx^i(v^k\partial_k)=v^k dx^i(\partial_k)=v^k\delta^i_k=v^i.$$
Вот так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие дифференциала $dx^i$
Сообщение05.02.2017, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Metford говорит правильно, только я не понял, почему это не дифференциал.
Возьмём функцию $x^i : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, действующую следующим образом $x^i (x^1,...,x^n) = x^i$ (NB: слева функция, справа число). Как будет выглядеть дифференциал этой функции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие дифференциала $dx^i$
Сообщение05.02.2017, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
kp9r4d, да, я нехорошо сказал. Мне нужно было подчеркнуть, что дифференциал понимается как отображение, а не в "примитивном" смысле, как его на младших курсах обычно понимают (ТС не сказал, на каком уровне нужен был ответ).
Спасибо, что поправили!

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие дифференциала $dx^i$
Сообщение05.02.2017, 22:07 


27/01/17
35
Большое спасибо!

Да, я тоже после прочтения первого сообщения хотел спросить, почему это нельзя называть дифференциалом? Хотя, понятное дело, я не имел ввиду главную линейную часть приращения функции..

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB_(%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие дифференциала $dx^i$
Сообщение05.02.2017, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
_Y_ в сообщении #1190099 писал(а):
Хотя, понятное дело, я не имел ввиду главную линейную часть приращения функции..

Мысли через Интернет тяжело читаются :-) Не хотел ввести в заблуждение. К счастью, меня поправили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие дифференциала $dx^i$
Сообщение05.02.2017, 22:25 


27/01/17
35
Metford в сообщении #1190100 писал(а):
Мысли через Интернет тяжело читаются :-) Не хотел ввести в заблуждение. К счастью, меня поправили.


Все в порядке! Еще раз спасибо :wink:

Я только пока не до конца понял, почему:

Metford в сообщении #1190086 писал(а):
А базисные формы преобразуются, как контравариантные векторы, поэтому их обозначают $dx^k$.


Всё-таки, это в каком-то смысле договорённость и обозначение?

И зачем нужно было говорить про базис?

Metford в сообщении #1190086 писал(а):
$\partial_k$

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие дифференциала $dx^i$
Сообщение05.02.2017, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
_Y_ в сообщении #1190103 писал(а):
Всё-таки, это в каком-то смысле договорённость и обозначение?

Это конкретизирующее такое обозначение. Оно подчёркивает, что всё дело происходит в касательных пространствах. Насколько я понимаю, исторически это возникло для того, чтобы связать эту теорию с уже имевшейся теорией интегрирования. А потом уже это прошло в дифференциальную геометрию. Картан этим всем занимался. Правда, не буду с полной определённостью советовать читать его. Лично мне его книги не слишком легко давались. Написано-то хорошо, но сейчас это несколько иначе излагается.
В принципе, можно было бы пользоваться обозначениями $e_i$, $e^k$. Только нужно иметь в виду, что многообразие только локально гомеоморфно пространству $\mathbb{R}^n$, поэтому на всём многообразии в общем случае один базис не ввести. Это нужно учитывать.
Могу посоветовать книгу Н.В. Ефимова "Введение в теорию внешних форм".
_Y_ в сообщении #1190103 писал(а):
И зачем нужно было говорить про базис?

Ну как зачем? В дуальном пространстве можно выбрать базис, никак не связанный с базисом в касательном пространстве. Но тогда не получится тот фокус, с которого разговор начался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие дифференциала $dx^i$
Сообщение05.02.2017, 23:11 


27/01/17
35
Metford в сообщении #1190111 писал(а):
Могу посоветовать книгу Н.В. Ефимова "Введение в теорию внешних форм".


Кстати, в этой книге, на стр. 32 сказано: "Координатные формы принято обозначать через $dx^j$"

Но за объяснение мотивировки, большое спасибо. Это именно то, о чём я спрашивал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие дифференциала $dx^i$
Сообщение05.02.2017, 23:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
_Y_ в сообщении #1190119 писал(а):
Кстати, в этой книге, на стр. 32 сказано: "Координатные формы принято обозначать через $dx^j$"

Так я и говорю, что обозначение конкретизирующее, которым можно было бы не пользоваться, но так удобнее. При определённой привычке. Знаю людей, которым этим обозначения сильно мешают.

Рад был помочь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие дифференциала $dx^i$
Сообщение07.02.2017, 19:53 


29/08/13
282
В этом обозначении $dx^i$ понимается как дифференциал соответствующей координатной функции.

Касательный вектор -- это класс эквивалентности путей. Если рассматриваемое отображение пути из одного класса эквивалентности перегоняет в пути, снова лежащие в одном классе -- оно дифференцируемо. Так порождаемое отображение, работающее с этими классами, называется дифференциалом исходного отображения. Здесь $dx^i$ не являет собой неделимое обозначение, это обычный дифференциал функции, заданной в рассматриваемой координатной карте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие дифференциала $dx^i$
Сообщение12.02.2017, 10:14 


27/01/17
35
Спасибо за комментарий! Но не могли бы Вы объяснить, что Вы понимаете под:

VanD в сообщении #1190562 писал(а):
Если рассматриваемое отображение пути из одного класса эквивалентности перегоняет в пути, снова лежащие в одном классе -- оно дифференцируемо.


что значит "перегоняет в пути"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие дифференциала $dx^i$
Сообщение12.02.2017, 20:52 


29/08/13
282
Ну был у Вас на многообразии $M$ путь, например, $\gamma\colon[-1; 1]\to M$, а ещё было отображение многообразий $f\colon M\to N$, тогда это отображение "перегоняет" $\gamma$ в путь $\tilde{\gamma}$ на $N$ по следующей схеме $\tilde{\gamma} = f\circ\gamma$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group