2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Геометрическое неравенство
Сообщение05.02.2017, 17:03 


11/07/16
136
Пусть $ m_a,\,m_b,\,m_c$ - длины медиан треугольника $ABC$, проведенных к сторонам $ BC,CA,AB,$ а $r_a,r_b,r_c$ -
длины радиусов вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся соответствующих сторон.
Доказать неравенство $\frac {r_ar_b} {m_am_b}+\frac {r_br_c} {m_bm_c}+\frac {r_cr_a} {m_cm_a} \ge 3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение05.02.2017, 20:52 


30/03/08
162
St.Peterburg
Markiyan Hirnyk в сообщении #1189978 писал(а):
Пусть $ m_a,\,m_b,\,m_c$ - длины медиан треугольника $ABC$, проведенных к сторонам $ BC,CA,AB,$ а $r_a,r_b,r_c$ -
длины радиусов вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся соответствующих сторон.
Доказать неравенство $\frac {r_ar_b} {m_am_b}+\frac {r_br_c} {m_bm_c}+\frac {r_cr_a} {m_cm_a} \ge 3$.


$a=y+z\ , b=z+x \ , c=x+y$

$r_ar_b = \dfrac{xyz^2}{r^2} \ , \dots$

$m_am_b \le \dfrac{c^2}{2}+\dfrac{ab}{4} \ , \dots$

$$LHS \ge \dfrac{4xyz}{r^2} \left( \dfrac{z}{2c^2+ab}+ \dfrac{y}{2b^2+ca}+\dfrac{x}{2a^2+bc}\right) \ge$$

$$\ge \dfrac{4xyz}{r^2} (x+y+z)^2\dfrac{1}{(2c^2+ab)z+(2b^2+ca)y+(2a^2+bc)x}= \dfrac{4 p^3}{(2c^2+ab)z+(2b^2+ca)y+(2a^2+bc)x}\ge 3$$

$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}^{} x^3+3\sum\limits_{cyc}^{}{(x^2y+yx^2)} \ge 21 xyz$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение05.02.2017, 21:07 


11/07/16
136
Sergic Primazon: Спасибо за интерес к задаче. Пожалуйста, изложите подробно доказательства оценок для произведений длин радиусов и медиан, неравенств в $LHS \ge \dots \ge 3$ и последней эквивалентности. Пока это не сделано, нельзя Ваш ответ считать обоснованным. Кстати, при слишком сжатом изложении легко ошибиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение05.02.2017, 21:17 


25/08/11
1011
Для произведения радиусов есть простая формула. А для произведения медиан-есть? Если есть-то AGM?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение06.02.2017, 09:02 


25/08/11
1011
AGM требует такого неравенства: $r/p \ge 8/27$, оно верно? Есть оценки числом в другую сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение09.02.2017, 00:19 
Заслуженный участник


26/06/07
1728
shevah school, tel-aviv
Sergic Primazon в сообщении #1190074 писал(а):

$m_am_b \le \dfrac{c^2}{2}+\dfrac{ab}{4} \ , \dots$


Это теорема Птолемея (по $\frac{2}{3}$ от двух медиан - это две диагонали).

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение09.02.2017, 07:12 


11/07/16
136
arqady
Спасибо. Вы имеете в виду неравенство Птоломея? Пожалуйста, изложите этот момент подробнее.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group