Неравенство с биномиальными коэффициентами

[Math_er]

Доброго времени суток!

Встречал ли кто-нибудь неравенство такого рода?

$$\sum_{(x,y)\in\mathcal{D}}\left(\binom{A-1}{x-1}+\binom{B-1}{y-1}\right)\leqslant\frac{1}{2}\sum_{(x,y)\in\mathcal{D}}\binom{A}{x}\binom{B}{y},$$

где $A,B$ - произвольные натуральные числа, а $\mathcal{D}$ - некоторое непустое множество, ограничивающее каким-то образом $x$ и $y$ сверху.

Может быть у кого-то будут идеи по доказательству?

Если предположить, что область суммирование терпит разделение переменных, то всё доказывается довольно просто, путём почти прямого вычисления.

Также, если доказать, что

$$\sum_{(x,y)\in\mathcal{D}}\binom{A}{x}\binom{B}{y} \geqslant \sum_{(x,y)\in\mathcal{D}}\left(\binom{A}{x}+\binom{B}{y}\right),$$

то дальше всё тоже легко доказывается.

Интуитивно ясно, что произведение натуральных чисел всегда больше их суммы, если оба числа больше единицы. Однако, после аккуратного выписывания, становится понятно, что поточечной оценки недостаточно: вылезают отрицательные слагаемые, типа мощности $\mathcal{D}.$
Я предполагаю, что тут можно как-то воспользоваться быстрым ростом коэффициентов, но как именно..?

Спасибо.

[grizzly]

Math_er
Попытайтесь для начала посчитать руками на простых примерах. Скажем, $A=B=2, {\mathcal D}=\{(2;2)\}$.

-- 04.02.2017, 18:49 --

Math_er в сообщении #1189725 писал(а):

вылезают отрицательные слагаемые, типа мощности $\mathcal{D}.$

А, я не обратил внимания. Вы здесь работаете с множествами отрицательных мощностей?

[Math_er]

grizzly
Придётся формулировать подробнее:
$\mathcal{D}$ - множество всех пар $(x,y)\in\mathbb{Z}_{+}^2,$ которые удовлетворяют неравенству

$$\frac{x}{A}+\frac{y}{B}\leqslant\alpha,$$

где $\alpha\in(0,1]$ - постоянная.

Мощность, конечно, положительна, а вот знак перед ней отрицательный.

У меня появилось подозрение, что это всё выполняется лишь при достаточно больших $A$ и $B$.

[grizzly]

Math_er в сообщении #1189756 писал(а):

У меня появилось подозрение, что это всё выполняется лишь при достаточно больших $A$ и $B$.

Попытайтесь воспользоваться тождеством:

$${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$$

Может, Вам его хватит для всех подходящих $\mathcal D$?

Math_er в сообщении #1189756 писал(а):

Мощность, конечно, положительна, а вот знак перед ней отрицательный.

У нас на форуме есть раздел загадок и развлечений. Вам туда