2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Простая задачка по квантовой механике
Сообщение17.01.2017, 20:55 


17/01/17
25
Тут у меня с другом возник спор по поводу простейшей задачки. Итак, пусть есть квантовая система с зависящим от времени гамильтонианом следующим образом:
$H(t) = B(t)H_0$ ,
где $B(t) = \begin{cases}
1,&\text{если $t\leq t_0$;}\\
A,&\text{если $t>t_0$.}
\end{cases}$
($t_0>0$)
$H_0$ от времени не зависит, и пусть у него среди прочих есть какой-то собственный вектор $|n\rangle$ :
$H_0|n\rangle = \varepsilon_n |n\rangle$

Как будет эволюционировать со временем волновая функция системы $|\psi (t)\rangle$, если в момент $t=0$ было $|\psi (t)\rangle = |n\rangle$ ?

Мое решение такое:

Уравнение Шредингера
$i|\dot\psi (t)\rangle = H(t)|\psi (t)\rangle$

Имеет решение:
$|\psi (t)\rangle = U(t)|\psi (0)\rangle = \exp(-i\varepsilon_n\int_0^tB(t')dt')|n\rangle$

То есть, состояние не меняется в результате скачка гамильтониана, просто начинает быстрее/медленнее крутиться фаза.

Мой же оппонент полагает, что из-за скачка будет все не так просто. Как полагаете вы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка по квантовой механике
Сообщение17.01.2017, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Будет "всё не так просто".

В момент скачка надо разложить старый с.вектор по базису новых. На это есть даже типовые задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка по квантовой механике
Сообщение17.01.2017, 21:27 


17/01/17
25
Munin в сообщении #1185521 писал(а):
Будет "всё не так просто".

В момент скачка надо разложить старый с.вектор по базису новых. На это есть даже типовые задачи.


А разве это не один и тот же базис? Это ж всего лишь множитель в Гамильтониане. Он влияет на собственные значения, но не на вектора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка по квантовой механике
Сообщение17.01.2017, 21:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
pvp в сообщении #1185524 писал(а):
А разве это не один и тот же базис?

Вообще говоря, информации недостаточно. Энергия может быть добавлена разными способами. По сути, мы имеем дело с двумя разными квантовыми системами: до скачка, и после скачка.

Для аналогии, рассмотрите движение свободной частицы, если потенциал в одном полупространстве 0, а в другом - $U.$ Волна, набегая на эту ступеньку, не просто "поднимется", а станет другой волной. Потому что она пытается сохранять энергию. Вы же не оговорили, сохраняет ваша система энергию в момент скачка, или нет. Если нет - то как найти энергию, переданную извне? Это не указанный параметр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка по квантовой механике
Сообщение17.01.2017, 22:02 


17/01/17
25
Munin в сообщении #1185530 писал(а):
Вообще говоря, информации недостаточно. Энергия может быть добавлена разными способами. По сути, мы имеем дело с двумя разными квантовыми системами: до скачка, и после скачка.


Вполне достаточно. Я определил то, как зависит гамильтониан от времени. Задал вектор состояния в нулевой момент времени. С помощью нестационарного уравнения Шредингера (через Т экспоненту, но она переходит в обычную экспоненту, т.к. гамильтониан коммутирует сам с собой в разные моменты времени) выразил вектор состояния в произвольный момент времени через начальный. Все.

Munin в сообщении #1185530 писал(а):
Для аналогии, рассмотрите движение свободной частицы, если потенциал в одном полупространстве 0, а в другом - $U.$ Волна, набегая на эту ступеньку, не просто "поднимется", а станет другой волной. Потому что она пытается сохранять энергию. Вы же не оговорили, сохраняет ваша система энергию в момент скачка, или нет. Если нет - то как найти энергию, переданную извне? Это не указанный параметр.


Это неверная аналогия. С натяжкой можно сказать, что ваша аналогия - это quench вида $H_0\rightarrow H_0 + V, \; [H_0,V]\neq 0$. Правильной же аналогией будет представить не прецессирующий спин в магнитном поле, т.е. направленный по полю. От того, что мы усилим поле (не изменив его направления) спин не повернется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка по квантовой механике
Сообщение17.01.2017, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
pvp в сообщении #1185533 писал(а):
От того, что мы усилим поле (не изменив его направления) спин не повернется.

В Вашем условии не было ничего про "усиление поля" (хотя бы, $A>1$). Ну и к тому же, с чего Вы решили, что не повернется? Не точная аналогия, но всё ж: волновой пакет налетает на барьер с энергией, меньшей, чем у пакета. Он пролетит этот барьер, или отразится?

(про точку)

А, кст, разве форма записи ур-я Шрёдингера $i \hbar \dot{\psi} = \hat{H}\psi$ разве не неправильная, т.к. точка, вроде -- это $\frac{d}{dt}$, а не $\frac{\partial}{\partial t}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка по квантовой механике
Сообщение17.01.2017, 22:16 


17/01/17
25
madschumacher в сообщении #1185536 писал(а):
В Вашем условии не было ничего про "усиление" (как минимум, $A>1$). Ну и, с чего Вы решили, что не повернется? Не точная аналогия, но всё ж: волновой пакет налетает на барьер с энергией, меньшей, чем у пакета. Он пролетит этот барьер, или отразится?


Аналогия не точная. Потому что барьер у вас есть постоянно. Вот если бы было пустое пространство с размазанной частицей, а потом вдруг внезапно в какой то части пространства изменилась потенциальная энергия - тогда да, что-то похоже, но это был бы quench, который я описал выше. В этом вашем случае гамильтониан не коммутирует сам с собой в разные моменты времени. А в моей задаче - коммутирует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка по квантовой механике
Сообщение17.01.2017, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
pvp в сообщении #1185538 писал(а):
А в моей задаче - коммутирует.

Ну кст, хороший аргумент. Типа, что лишняя/недостающая энергия отдастся/возьмется внешнему потенциалу? Имхо, логично на первый взгляд, но надо подумать... :?
Правда, работает ли Ваше решение через оператор эволюции $\hat{U}=\exp(-i\hat{H}t/\hbar)$? Разве оно не для Гамильтониана, не зависящего от времени? А у Вас он ещё как от времени зависит (с особенностью ещё, разрыв первого рода как-никак...). Хотя, могу и ошибаться... :oops:

Может попробуете рассмотреть модельную систему из 2х стационарных состояний, $A \rightarrow 1$, и применить временную теорию возмущений для момента времени $t_0+\Delta t$?

(спойлер)

вроде, Ваш оператор возмущения в этом случае будет $\hat{W}=(1-A)\hat{H}_0$, $(1-A)$ -- малый параметр, а Всё остальное -- халтура...

А потом тут расскажите, а то самим то лень решать... :lol:

(хотя что там решать то...)

Армянское радио спрашивает -- армянское радио отвечает...
Коэффициенты же для "примешивания" других состояний в нестационарной теории возмущений Р-Ш 1-го порядка $a_{n \rightarrow m}^{(1)}\propto \langle n | \hat{W} |m \rangle$, а в Вашем случае $\langle n | \hat{W} |m \rangle \propto \delta_{nm}$, так что похоже, что Вы правы (в этой упрощенной модели, как минимум)...

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка по квантовой механике
Сообщение17.01.2017, 23:22 


17/01/17
25
madschumacher в сообщении #1185541 писал(а):
Разве оно не для Гамильтониана, не зависящего от времени? А у Вас он ещё как от времени зависит (с особенностью ещё, разрыв первого рода как-никак...).


Именно так. Зависит. Но никаких приближений делать не нужно. Начинаем с Т-упорядоченной экспоненты:
$U(t) = T\exp[-i\int_0^tH(t')dt']$
И далее можно разными способами показать, что букву Т можно смело убирать. Можно разложить в Dayson series, или Magnus series, а можно совсем дуболомно написать:
$U(t) = T\exp[-i\int_0^tH(t')dt'] = e^{-iH(t)dt}e^{-iH(t-dt)dt}\dots e^{-iH(0)dt}$
И вспоминая формулу Троттера:
$e^Ae^B = e^{A+B}, \; \mathrm{if} \; [A,B]=0$
и применяя ее ко всем этим экспонентам получаем то, что я писал выше. Функция с разрывом стоит в интеграле, так что все ОК. Именно поэтому важна коммутация в разные моменты времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка по квантовой механике
Сообщение17.01.2017, 23:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
А, ну тогда, имхо, все логично и Вы правы :D (хотя меня слушать не надо, я в этом не шарю, пусть спецы комментируют :lol: ).

-- 17.01.2017, 21:48 --

pvp, кст, через:
Munin в сообщении #1185521 писал(а):
В момент скачка надо разложить старый с.вектор по базису новых.

ещё проще всё показать: т.к. у Вас $[\hat{H}_0,A\hat{H}_0]=0$, то у Вас собственные вектора $\hat{H}$ до и после $t_0$ -- одни и те же, и переразложение "старого" состояния по "новому" базису даст всё то же самое. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка по квантовой механике
Сообщение18.01.2017, 02:35 


27/11/10
206
madschumacher в сообщении #1185555 писал(а):
у Вас собственные вектора $\hat{H}$ до и после $t_0$ -- одни и те же

У ям глубиной $U_0$ и $AU_0$ разный спектр и собственные вектора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка по квантовой механике
Сообщение18.01.2017, 03:25 


17/01/17
25
Taus в сообщении #1185574 писал(а):
madschumacher в сообщении #1185555 писал(а):
у Вас собственные вектора $\hat{H}$ до и после $t_0$ -- одни и те же

У ям глубиной $U_0$ и $AU_0$ разный спектр и собственные вектора.


Речь не идет про спектр ямы $U$, а про спектр и собственные вектора полного гамильтониана $H$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка по квантовой механике
Сообщение18.01.2017, 05:53 


17/09/09
224
Поможет?
Книги:
1) Внезапные возмущения и квантовая эволюция - авторы Александр Дыхне, Геннадий Юдин
аннотация книги:
Книга посвящена систематическому описанию широкого круга процессов взаимодействия квантовых систем на основе концепции встряски. В рамках последовательной теории внезапных и полувнезапных возмущений проанализированы основные особенности кулоновского возбуждения и комптоновской ионизации атомов, столкновений во внешнем лазерном поле, эффектов атомной структуры в ядерных реакциях и других явлений.

2) А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов. Рассеяние, реакции и
распады в нерелятивнстской квантовой механике. "Наука", 1971.
Вроде есть параграф про внезапные возмущения.

Обзоры УФН тех же авторов, что и книга 1)
1) Дыхне А М, Юдин Г Л ""Встряхивание" квантовой системы и характер стимулированных им переходов" УФН 125 377–407 (1978)
2) Дыхне А М, Юдин Г Л "Вынужденные эффекты при "встряске" электрона во внешнем электромагнитном поле" УФН 121 157–168 (1977)

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка по квантовой механике
Сообщение18.01.2017, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
Taus в сообщении #1185574 писал(а):
У ям глубиной $U_0$ и $AU_0$ разный спектр и собственные вектора.

Так кинетическую энергию тоже меняют на этот же множитель.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка по квантовой механике
Сообщение18.01.2017, 17:54 
Заслуженный участник


29/09/14
1144
pvp в сообщении #1185512 писал(а):
То есть, состояние не меняется в результате скачка гамильтониана, просто начинает быстрее/медленнее крутиться фаза.
Наверное, это верно, потому что такое решение (со скачком зависящей от времени фазы из-за изменения энергии в $A$ раз, но без изменения $\psi_n(\vec{r}))$ действительно удовлетворяет уравнению Шрёдингера и начальному условию.

Вот простейший частный пример на более-менее наглядном языке: пусть имеется свободная частица в состоянии с определённым импульсом $\vec{p},$ её волновая функция $|n\rangle$ - плоская волна $\psi_{\vec{p}}(\vec{r}). $ Понятно, что в таком состоянии может находиться частица с любой массой $m.$ Гамильтониан $H_0=\hat{\vec{p}}^2/(2m)$ и энергия состояния (при заданном $\vec{p}$) зависят от массы, но импульс и $\psi_{\vec{p}}(\vec{r}) $ ничего "не знают" про массу частицы. Умножение гамильтониана на константу здесь можно понимать как замену исходной частицы частицей с другой массой. Возмущённый таким образом гамильтониан $H(t)$ по-прежнему коммутативен с оператором импульса, поэтому $\vec{p}$ сохраняется. Дело выглядит так, будто в момент $t_0$ мы каким-то образом подменяем исходную свободную частицу частицей с другой массой, но с прежним импульсом, и поэтому с прежней $\psi_{\vec{p}}(\vec{r}),$ а энергия частицы будет, разумеется, другой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group