Условное математическое ожидание

[Vandaler]

Даны две независимые случайные величины $X$ и $Y$.
$X \sim \frac{1}{x}I_{[1,e]}$, $Y \sim 3x^2 I_{[-1,0]}$.
Требуется посчитать $E(XY|X-Y)$.

Я пытался придумать решение, опирающееся лишь на свойства УМО, чтобы не вычислять совместную плотность $f_{XY,X-Y}$, но ничего не выходит. Вижу только решение в лоб, но оно мне жутко не нравится. Дело в том, что $f_{XY,X-Y}$ и $f_{X-Y}$ я могу посчитать, но они имеют такой вид, который не очень приятно интегрировать.

Вид этих плотностей не привожу
Может я что упускаю из вида?

[Vandaler]

Кажется, понял. Можно выразить $XY$ как $\frac{1}{2}((X-Y)^2 - X^2 - Y^2)$, тогда все слагаемые более менее по-человечески посчитаются.

[Brukvalub]

Vandaler в сообщении #1189170 писал(а):

Можно выразить $XY$ как $\frac{1}{2}((X-Y)^2 - X^2 - Y^2)$

Нет, это тождество ошибочно!

[Vandaler]

Да, знак забыл