Теорвер. Старая тема, игра с изменяющейся ставкой

[crazy_taxi_driver]

Теорвер. Старая тема, игра с изменяющейся ставкой: с.в. на наиболее вероятном атоме vs. МО: post1077323.html

Цитата:

У нас есть некоторая сумма денег x. Игра состоит из большого количеста раундов. Каждый раунд мы должны ставить половину от всей текущей суммы. Если выигрываем - забираем удвоенное количество поставленных денег, если проигрываем - ставка теряется. Вероятность выигрыша $p=0.6$, проигрыша $q=1-p$. К чему будет стремиться количество наших денег при большом количестве раундов?

ЗУ Sonic86 пишет что к 0. 3 других ЗУ неявно согласны с этим (не поправляют).

Можно рассмотреть с.в. = количество денег после $N$ раундов, из них $i$ выигрышей. Нетрудно показать (тут я согласен с Zyxel) что при $N \to \infty$:

1. предел значения этой с.в. на наиболее вероятном атоме, т.е. при $i=N p$, равен 0, и
2. её МО $ \to \infty$.

Этот парадокс понятен. Непонятно почему мы для ответа на вопрос берём (1) а не (2).

[mihaild]

Для случайных величин (функция на измеримом пространстве) определено несколько видов сходимости - почти всюду, по мере, по распределению (в порядке ослабления). Наша величина сходится почти всюду к $0$.

Т.е. если мы будем ставить этот эксперимент на практике, то мы получим некоторую последовательность сумм. И с вероятностью $1$ эта последовательность будет стремиться к $0$.

[crazy_taxi_driver]

Спасибо! Потом, когда побольше почитаю про сходимости, обязательно вернусь к этой задаче, подумаю.

[levtsn]

К чему будет стремиться двоичный логарифм суммы? Неужели к минус бесконечности?

[--mS--]

Разумеется.

[levtsn]

Но эта игра эквивалентна игре с постоянной ставкой. Тошда банк стремится к бесконечности, а экспонента банка тоже. Как это понимать?

[crazy_taxi_driver]

А я больше люблю готовые решения чем указания :) Zyxel очень понятно всё расписал.

А понять кмк очень легко. Если взять нормированное на $N$ число успехов $i$, то ширина колокола биномиального распределения $\to 0$. Отступив от $p_0=\log_2 3$ на фиксированное расстояние, мы добиваемся того что всё меньше и меньше площади хвоста останется вне этого расстояния. Т.е. при $N \to \infty$ будет выпадать всё меньше и меньше удачных значений $i$.

А МО так считать (путь 2) - это смешивать 2 предела (вер.пространство и МО в нём) в 1 ком и брать от кома предел - против духа матанализа, низзя.

Знаю что математики иногда очень хорошо излагают - провоцирую :)

[--mS--]

levtsn в сообщении #1189410 писал(а):

Тошда банк стремится к бесконечности, а экспонента банка тоже.

За счёт чего "банк стремится к бесконечности"?

[levtsn]

Вероятность выигрыша в одном раунде $0.6$. Матожидание $0.2$. Сделая $n$ попыток мы выиграем $0.2n$. Попыток бесконечность следовательно банк равен бесконечности умноженной на $0.2$.

Lia: касательно формул, пробелов и знаков препинания.
У нас самообслуживание.

[--mS--]

Матожидание чего $0{,}2$? Вы не забыли, что речь идёт о логарифмах?

[levtsn]

Я заменил игру, на игру составкой 1. Мы найдем к чему стремится ее банк, а потом возведем два в получившуюся степень. Это эквивалентно игре с удвоением или уполовиниванием банка.

[--mS--]

levtsn в сообщении #1189541 писал(а):

Это эквивалентно игре с удвоением или уполовиниванием банка.

Доказательство эквивалентности?

[levtsn]

Немного я поспешил. Мы можем получить 1.5 банка с вероятностью 0.6 и 0.5 банка с вероятностью 0.4. Таким образом матожидание одного раунда равно $м=1.5•0.6+0.5•0.4=1.1$
Следовательно на бесконечности банк стакже стремится к бесконечности.

[--mS--]

Двоичные логарифмы где?

[levtsn]

Их нет, я сначала неправильно понял условие.